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在'''數學'''中，'''容度'''是[[位勢論]]裡描述一個集合大小的概念。

==定義==
一如測度之於測度論，'''容度'''在某種意義下描述一個集合的大小。容度出現在許多數學領域中，特別是[[逼近理論]]或[[複分析]]。它的起源則與靜電學中[[電容]]的概念有關。

對於 <math>\mathbb{R}^n \;(n \geq 2)</math> 上一個有限且帶緊支集的[[博雷尔测度]] &mu; ，可以抽象地定義相應的'''位勢函數'''：

:<math>p_{\mu}(z)=\int \frac{\mathrm d\mu(w)}{|z-w|^{n-2}} </math>
這裡的 &mu; 在物理上可以想像成一個 <math>n</math> 維世界裡的電荷分佈——至少在 <math>n=3</math> 時吻合靜電學。&mu; 的'''能量'''則抽象地定義為位勢的總和：

:<math>I(\mu)=\iint |z-w|^{n-2}\;\mathrm d\mu(w)\;\mathrm d\mu(z)</math>

當 n=2 時，兩個定義中的 <math>|z-w|^{n-2}</math> 都改取 <math>\log |z-w|</math>

設 <math>K \subset \mathbb{R}^n</math> 為[[緊集]]，其'''容度'''定義作
: <math>C(K) := \dfrac{1}{\inf_\mu I(\mu)} </math>
: 其中的下確界取遍支集在 <math>K</math> 上的所有博雷尔機率測度 &mu;。

==二維情形==
在一個[[黎曼曲面]] M 上給定一點 <math>p</math>。若存在一個以 <math>p</math> 為極點的[[格林函數]]，則它在 <math>p</math> 點的一個夠小開鄰域 &Omega; 上有唯一表法
: <math>g_p(x) = \log |x-p| + h_p(x)</math> 
其中 <math>h_p</math> 是 <math>\Omega - \{p\}</math> 上的[[調和函數]]。

此時 <math>\lim_{x \rightarrow p} h_p(x)</math> 決定 <math>M-\Omega</math> 的容度。這些量能用來分類黎曼曲面。根據 <math>M</math> 的[[曲率]]，可以用雙曲距離或球面距離取代上述定義中的歐氏距離 <math>d(z,w) = |z-w|</math>，由此可得到雙曲容量與球面容度（或稱橢圓容度）。

==文獻==
* {{springer|author=E.D. Solomentsev|id=c/c020280|title=Capacity}}
* {{springer|author=E.D. Solomentsev|id=r/r082510|title=Robin constant}}
* J. L. Doob. ''Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart'', Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41206-9.

[[Category:位勢論]]
[[Category:複分析|R]]