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'''富比尼定理'''（{{lang-en|Fubini's theorem}}）是[[数学分析]]中有关重积分的一个定理，由数学家[[圭多·富比尼]]在1907年提出。富比尼定理给出了使用[[逐次积分]]的方法计算[[双重积分]]的条件。在这些条件下，不仅能够用逐次积分计算双重积分，而且交换逐次积分的顺序时，积分结果不变。'''Tonelli定理'''由数学家 Leonida Tonelli在1909年提出，与富比尼定理相似，但是是应用于非负函数而不是可积函数。

==定理==
若
:<math>\int_{A\times B} |f(x,y)|\,d(x,y)<\infty</math>，

其中''A''和''B''都是[[σ-有限测度]]空间，<math>A\times B</math>是<math>A</math>和<math>B</math>的[[积测度|积可测空间]]，<math>f: A \times B \mapsto \mathbb{C}</math>是[[可测函数]]，那么
:<math>\int_A\left(\int_B f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y)</math>，

前二者是在两个测度空间上的[[逐次积分]]，但积分次序不同；第三个是在乘积空间上关于乘积测度的积分。

特别地，如果<math>f(x,y)=h(x)g(y)</math>，则
:<math>\int_A h(x)\, dx \int_B g(y)\, dy = \int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y)</math>。

如果条件中绝对值积分值不是有限，那么上述两个逐次积分的值可能不同。

==非负函数的Tonelli定理==
Tonelli定理延续了富比尼定理。Tonelli定理的结论与富比尼定理一样，但是条件从<math>|f|</math>积分有限改为了<math>f</math>非负。

==应用==
富比尼定理一个应用是计算[[高斯积分]]。高斯积分是很多概率论结果的基础：

:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}</math>。

[[Category:测度论]]
[[Category:积分学]]
[[Category:数学定理|F]]