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{{noteTA
|1=zh-cn:素数;zh-tw:質數;zh-hk:質數;
|G1=Math
}}

'''實際數'''（{{lang|en|'''practical number'''}}）<!-- or '''panarithmic number'''<ref>{{harvtxt|Margenstern|1991}} cites {{harvtxt|Robinson|1979}} and {{harvtxt|Heyworth|1980}} for the name "panarithmic numbers".</ref>-->是指一正整數''n''有許多因數，所有小於''n''的正整數都可以用數個''n''的相異真因數和表示。例如12的真因數有1, 2, 3, 4及6，而1至11的數字中有幾個不是12的真因數，但都可以表示為數個相異真因數的和：5=3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1及11=6+3+2。

以下是實際數的列表{{OEIS|id=A005153}}：1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....

12,13世紀的義大利數學家[[斐波那契]]在其著作《[[計算之書]]》（Liber Abaci）中，在說明如何用[[埃及分數]]的和表示有理數時有用到實際數。斐波那契沒有正式的定義實際數，但其中有一個表，其中有許多分數的分母為實際數<ref name="sigler"/>。

實際數（practical number）一詞最早是由Srinivasan在1948年開始使用，他希望可以找出有這類性質的數字<ref name="Srinivasan"/>，此工作後來在1955年由Stewart和Sierpiński完成<ref name="Stewart"/><ref name="Sierpiński"/>。利用正整數的[[質因數分解]]可以判斷是否是實際數，所有[[2的幂]]及偶數的[[完全數]]都是實際數。

已發現實際數和質數有許多類似的特質<ref name="Hausman"/><ref name="Margenstern1991"/><ref name="Melfi"/><ref name="Saias"/>。

==實際數的充份必要條件==
一個正整數可以由其[[質因數分解]]看出是否是實際數<ref name="Stewart"/><ref name="Sierpiński"/>，一正整數<math>n=p_1^{\alpha_1}...p_k^{\alpha_k}</math>，其中<math>n>1</math>，質因數為<math>p_1<p_2<\dots<p_k</math>，其為實際數[[若且唯若]]<math>p_1=2</math>，且對於每個2到''k''之間的''i''：
:<math>p_i\leq1+\sigma(p_1^{\alpha_1}\dots p_{i-1}^{\alpha_{i-1}})=1+\prod_{j=1}^{i-1}\frac{p_j^{\alpha_j+1}-1}{p_j-1},</math>
其中<math>\sigma(x)</math>為''x''的[[除數函數]]。

例如3 ≤ σ(2)+1 = 4，29 ≤ σ(2 × 3<sup>2</sup>)+1 = 40，及823 ≤ σ(2 × 3<sup>2</sup> × 29)+1=1171，因此2 × 3<sup>2</sup> × 29 × 823 = 429606為一實際數。<!--This characterization extends a partial classification of the practical numbers given by {{harvtxt|Srinivasan|1948}}.-->

由於以上條件成立時，才能用其他較小的因數和表示<math>p_i-1</math>，因此是一正數為實際數的必要條件。上述條件也是一正數為實際數的充份條件。

==和其他數列的關係==
所有[[2的幂]]都是實際數<ref name="Srinivasan"/>。2的幂的質因數分解滿足實際數的充份必要條件：第一個質因數為2。所有偶數的[[完全數]]也都是實際數<ref name="Srinivasan"/>：依照[[歐拉]]的研究，偶數的完全數可以表示為2<sup>''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1</sup>(2<sup>''n''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1)，其奇數的質因數可以用其他偶數部份的除數函數來表示，因此也滿足實際數的充份必要條件。

任一個[[質數階乘]]也都是實際數<ref name="Srinivasan"/>。根據[[伯特蘭－切比雪夫定理]]，質數階乘中最大的質數會小於次大質數和最小質數（2）的乘積，因此滿足實際數的充份必要條件。前''k''個質數幂次的乘積也都是實際數，包括[[階乘]]以及[[斯里尼瓦瑟·拉馬努金]]提出的[[高合成數]]<ref name="Srinivasan"/>。

==和埃及分數的關係==
若''n''為實際數，則小於1的[[有理數]]''m''/''n''可以表示∑''d<sub>i</sub>''/''n''來表示，其中''d<sub>i</sub>''為''n''的相異因數，此式的每一項都可以化簡為[[單位分數]]，因此此式即為''m''/''n''的[[埃及分數]]表示式。例如
:<math>\frac{13}{20}=\frac{10}{20}+\frac{2}{20}+\frac{1}{20}=\frac12+\frac1{10}+\frac1{20}.</math>

斐波那契在其著作《[[計算之書]]》（Liber Abaci）中列出許多用埃及分數表示有理數的方式，首先先確認分數是否可以直接化簡為[[單位分數]]，再來則是設法將分子表示為分母因數的和，此方式只在分母為實際數時有效<ref name="sigler"/>。斐波那契列出了分母為6, 8, 12, 20, 24, 60及100時，分數用埃及分數表示時的表示式。

== 和質數的類似之處 ==

實際數特別的一點是其許多性質都類似[[質數]]。例如假設''p''(''x'')為小於''x''實際數的個數，Saias證明存在常數''c''<sub>1</sub>及 ''c''<sub>2</sub>使得下式成立<ref name="Saias"/>：

:<math>c_1\frac x{\log x}<p(x)<c_2\frac x{\log x},</math>

以上公式可以對應素數的[[素數定理]]。此證明解答了Margenstern的猜想：存在特定常數''c''，使得''p''(''x'')漸近於''cx''/log&nbsp;''x''<ref name="Margenstern1991"/>。也強化了[[保罗·埃尔德什]]所提出：實際數在正整數中的密度為0的論點<ref name="Erdős"/>。

實際數也有對應[[哥德巴赫猜想]]及[[孿生質數猜想]]的定理：每一個偶數可以表示為二個實際數的和，以及存在無限多個 ''x''&nbsp;&minus;&nbsp;2,&nbsp;''x'',&nbsp;''x''&nbsp;+&nbsp;形式的實際數<ref name="Melfi"/>。Melfi也證明在[[斐波那契数列]]中存在無限多個實際數，素數對應的問題是是否存在無限多個[[斐波那契質數]]，此問題仍為開放問題，還沒有被證明，但也還找不到反例。Hausman及Shapiro證明若''x''為正實數，在[''x''<sup>2</sup>,(''x''&nbsp;+&nbsp;1)<sup>2</sup>]區間內存在實際數，可以對應質數中的[[勒讓德猜想]]<ref name="Hausman"/>。

== 參考資料 ==
{{reflist|refs=
<ref name="sigler">{{citation
 | title = Fibonacci's Liber Abaci
 | last = Sigler | first = Laurence E. (trans.)
 | publisher = Springer-Verlag
 | year = 2002
 | isbn = 0-387-95419-8
 | pages = 119–121}}</ref>
<ref name="Srinivasan">{{citation
 | last = Srinivasan | first = A. K.
 | title = Practical numbers
 | journal = Current Science
 | volume = 17
 | year = 1948
 | pages = 179–180
 | mr = 0027799
 | url = http://www.ias.ac.in/jarch/currsci/17/179.pdf}}</ref>
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 | last = Stewart | first = B. M.
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 | journal = American Journal of Mathematics
 | volume = 76
 | year = 1954
 | pages = 779–785
 | mr = 0064800
 | doi = 10.2307/2372651
 | jstor = 2372651
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<ref name="Sierpiński">{{citation
 | last = Sierpiński | first = Wacław 
 | doi = 10.1007/BF02410762
 | issue = 1
 | journal = Annali di Matematica Pura ed Applicata
 | pages = 69–74
 | title = Sur une propriété des nombres naturels
 | volume = 39
 | year = 1955}}</ref>
<ref name="Hausman">{{citation
 | last1 = Hausman | first1 = Miriam | last2 = Shapiro | first2 = Harold N.
 | title = On practical numbers
 | journal = Communications on Pure and Applied Mathematics
 | volume = 37
 | year = 1984
 | issue = 5
 | pages = 705–713
 | mr = 0752596
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<ref name="Margenstern1991">{{citation
 | last = Margenstern | first = Maurice
 | title = Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures
 | journal = Journal of Number Theory
 | volume = 37
 | year = 1991
 | issue = 1
 | pages = 1–36
 | mr = 1089787
 | doi = 10.1016/S0022-314X(05)80022-8}}</ref>
<ref name="Melfi">{{citation
 | last = Melfi | first = Giuseppe
 | title = On two conjectures about practical numbers
 | journal = Journal of Number Theory
 | volume = 56
 | year = 1996
 | issue = 1
 | pages = 205–210
 | mr = 1370203
 | doi = 10.1006/jnth.1996.0012}}</ref>
<ref name="Saias">{{citation
 | last = Saias | first = Eric
 | title = Entiers à diviseurs denses, I
 | journal = Journal of Number Theory
 | volume = 62
 | issue = 1
 | year = 1997
 | pages = 163–191
 | mr = 1430008
 | doi = 10.1006/jnth.1997.2057}}</ref>
<ref name="Erdős">{{citation
 | last1 = Erdős | first1 = Paul
 | last2 = Loxton | first2 = J. H.
 | doi = 10.1017/S144678870001243X
 | journal = Journal of the Australian Mathematical Society (Series A)
 | pages = 319–331
 | issue = 03
 | title = Some problems in partitio numerorum
 | volume = 27
 | year = 1979}}</ref>
}}

== 外部連結 ==
*[http://www.dm.unipi.it/gauss-pages/melfi/public_html/pratica.html Tables of practical numbers] compiled by Giuseppe Melfi
*{{PlanetMath | urlname = PracticalNumber | title = Practical Number}}
*{{Mathworld | urlname = PracticalNumber | title = Practical Number}}

{{Divisor classes navbox}}

[[Category:整数数列]]
<!--[[Category:Egyptian fractions]]-->