查看“对角优势矩阵”的源代码
←
对角优势矩阵
跳转到导航
跳转到搜索
因为以下原因,您没有权限编辑本页:
您请求的操作仅限属于该用户组的用户执行:
用户
您可以查看和复制此页面的源代码。
{{NoteTA |G1 = Math }} '''对角优势矩阵'''是指一[[矩陣]]的每一橫行,對角線上元素的大小大於或等於同一橫行其他元素大小的和,一矩陣''A''為对角优势矩阵若 :<math>|a_{ii}| \geq \sum_{j\neq i} |a_{ij}| \quad\text{for all } i, \,</math> 其中''a''<sub>''ij''</sub>為第''i''行第''j''列的元素。 上述的定義中用到大於等於,其條件較鬆,因此有時會稱為'''弱对角优势矩阵''',若上述的定義用大於代替大於等於,則稱為'''強对角优势矩阵'''。对角优势矩阵可以指弱对角优势矩阵,也可以指強对角优势矩阵,視上下文而定<ref>For instance, Horn and Johnson (1985, p. 349) use it to mean weak diagonal dominance.</ref>。 ==變體== 第一段的定義是考慮同一橫行其他元素大小的和,有時也稱為'''行对角优势矩阵''',若是考慮同一直列其他元素大小的和,則稱為'''列对角优势矩阵'''。 若一{{link-en|不可约|irreducible (mathematics)}}矩阵是弱对角优势矩陣,但至少一橫行(或一直列)符合強对角优势的條件,則此矩陣稱為'''不可约对角优势矩阵'''。 ==例子== 矩陣 :<math>\mathbf A = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 1\\ 1 & -3 & 2\\ -1 & 2 & 4\end{bmatrix} </math> 可得 :<math>|a_{11}| \ge |a_{12}| + |a_{13}|</math> 因為 <math>|3| \ge |-2| + |1|</math> :<math>|a_{22}| \ge |a_{21}| + |a_{23}|</math> 因為 <math>|-3| \ge |1| + |2|</math> :<math>|a_{33}| \ge |a_{31}| + |a_{32}|</math> 因為 <math>|4| \ge |-1| + |2|</math>. 因為任一對角線元素大小都大於等於同一行其他元素的和,因此A為对角优势矩阵。 矩陣 :<math>\mathbf B = \begin{bmatrix} -2 & 2 & 1\\ 1 & 3 & 2\\ 1 & -2 & 0\end{bmatrix} </math> 但是 :<math>|b_{11}| < |b_{12}| + |b_{13}|</math> 因為 <math>|-2| < |2| + |1|</math> :<math>|b_{22}| \ge |b_{21}| + |b_{23}|</math> 因為 <math>|3| \ge |1| + |2|</math> :<math>|b_{33}| < |b_{31}| + |b_{32}|</math> 因為 <math>|0| < |1| + |-2|</math>. 因為<math>|b_{11}|</math>和<math>|b_{33}|</math>都小於同一列其他元素大小的和,因此B不是对角优势矩阵。 矩陣 :<math>\mathbf C = \begin{bmatrix} -4 & 2 & 1\\ 1 & 6 & 2\\ 1 & -2 & 5\end{bmatrix} </math> 可得 :<math>|c_{11}| \ge |c_{12}| + |c_{13}|</math> 因為 <math>|-4| > |2| + |1|</math> :<math>|c_{22}| \ge |c_{21}| + |c_{23}|</math> 因為 <math>|6| > |1| + |2|</math> :<math>|c_{33}| \ge |c_{31}| + |c_{32}|</math> 因為 <math>|5| > |1| + |-2|</math>. 因為任一對角線元素大小都大於同一行其他元素的和,因此C為強对角优势矩阵。 ==應用及性質== 強对角优势矩阵(或不可约对角优势矩阵<ref>Horn and Johnson, Thm 6.2.27. </ref>)是[[非奇異方陣]],此結果即為Levy–Desplanques定理<ref>Horn and Johnson, Thm 6.1.10. This result has been independently rediscovered dozens of times. A few notable ones are Lévy (1881), Desplanques (1886), Minkowski (1900), Hadamard (1903), Schur, Markov (1908), Rohrbach (1931), Gershgorin (1931), Artin (1932), Ostrowski (1937), and Furtwängler (1936). For a history of this "recurring theorem" see: {{cite journal | last=Taussky | first=Olga | authorlink=Olga Taussky-Todd | year=1949 | title=A recurring theorem on determinants | journal=[[American Mathematical Monthly]] | volume=56 | pages=672–676 | doi=10.2307/2305561 | issue=10 | publisher=The American Mathematical Monthly, Vol. 56, No. 10 | jstor=2305561}} Another useful history is in: {{cite journal | last=Schneider | first=Hans | year=1977 | title=Olga Taussky-Todd's influence on matrix theory and matrix theorists | journal=Linear and Multilinear Algebra | volume=5 | issue=3 | pages=197–224 | doi=10.1080/03081087708817197}}</ref>,針對強对角优势矩阵的結果,可以用{{link-en|Gershgorin圆定理|Gershgorin circle theorem}}證明。 若[[埃爾米特矩陣|埃爾米特]]对角优势矩阵<math> A </math>,其對角線為非負值,即為[[正定矩陣]]。<!--英文版證明中的Connect A and D+I via a segment of matrices M(t)=(1-t)(D+I)+tA 不確定意義,先省略--> 若不考慮對稱性的條件,上述的矩陣不一定會是半正定矩陣。(例如,<math> \begin{pmatrix}-\sqrt 5&2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 1&1&0\\ 1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\sqrt 5\\2\\1\end{pmatrix}=10-5\sqrt 5<0 </math>),但其特徵值的實部為非負數(參見对角优势矩阵的結果,可以用{{link-en|Gershgorin圆定理|Gershgorin circle theorem}}。) 類似的,若埃爾米特強对角优势矩阵的對角線元素為正,此矩陣為[[正定矩陣]],此矩陣等於某個對角線元素為非負值實數的埃爾米特強对角优势矩阵<math>A</math>加上<math>xI</math>,其中<math>x</math>為正的實數(也是正定矩陣)。 若[[高斯消去法]](LU分解)的矩陣為強对角优势矩阵,不需要進行[[主元|尋找主元]]的過程。 若一線性聯立方程的矩陣為強对角优势矩阵或不可约对角优势矩阵,利用[[雅可比法]]及[[高斯-賽德爾迭代]]的計算結果會收斂。 許多從[[有限元素法]]中產生的矩陣都是对角优势矩阵。 <!--有關pairing on diagrams的證明也省略--> ==參考資料== {{reflist}} * Gene H. Golub & Charles F. Van Loan. ''Matrix Computations'', 1996. ISBN 0-8018-5414-8 * Roger A. Horn & Charles R. Johnson. ''Matrix Analysis'', Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 (paperback). ==外部連結== * [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=4512 PlanetMath: Diagonal dominance definition] * [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=7483 PlanetMath: Properties of diagonally dominant matrices] * [http://mathworld.wolfram.com/DiagonallyDominantMatrix.html Mathworld] [[Category:数值线性代数]] [[Category:矩陣]]
本页使用的模板:
Template:Cite journal
(
查看源代码
)
Template:Link-en
(
查看源代码
)
Template:NoteTA
(
查看源代码
)
Template:Reflist
(
查看源代码
)
返回
对角优势矩阵
。
导航菜单
个人工具
登录
命名空间
页面
讨论
不转换
查看
阅读
查看源代码
查看历史
更多
搜索
导航
首页
最近更改
随机页面
MediaWiki帮助
工具
链入页面
相关更改
特殊页面
页面信息