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[[File:Involution.svg|right|thumb|对合函数 <math>f:X\to X,</math> 在作用两次的时候回到起点。]]
在[[数学]]中，'''对合'''（{{lang-en|involution}}）或'''对合函数'''，是[[逆函数]]等于自身的[[函数]]，就是说

:''f''(''f''(''x'')) = ''x'' 对于所有 ''f'' 的[[定义域]]中的 ''x''。

== 一般性质 ==

对合是[[双射]]。

[[恒等函数|恒等映射]]是一個对合的平凡例子。数学中更常见的有趣對合例子包括[[算术]]中的[[乘法|乘以]] −1 和取[[倒数]]，[[集合论]]中的[[补集]]，和[[共軛複數|複共軛]]。

其他例子包括[[反演|圆反演]]、[[ROT13]]变换，和 [[Beaufort密码|Beaufort]] [[多字母表密码]].

== 欧几里得几何中的对合 ==

三维[[欧几里得空间]]中对合的简单例子是对一个[[平面 (数学)|平面]]的[[反射 (数学)|反射]]。做两次反射就回到了起点。

这个变换是[[仿射对合]]的特殊情况。

== 线性代数中的对合 ==

在线性代数中，对合是线性算子 ''T'' 使得 <math>T^2=I</math>。除了有特征 2，这种算子可对角化为在对角线上有 1 和 -1。如果这个算子是正交的('''正交对合''')，它是正交可对角化的。

对合有关于[[幂等]]；如果 2 是可逆的，(在特征不是 2 的领域中)，它们是等价的。

== 环论中的对合 ==

在[[环论]]中，对合通常意味着是自己逆函数的[[自同态]]。例子包括[[复共轭]]和矩阵的[[转置矩阵|转置]]。

== 群论中的对合 ==

在[[群论]]中，一个群的元素是对合，如果它的[[阶 (群论)|阶]]为2；也就是说，对合是一个元素''a''，使得''a'' ≠ ''e''且''a''<sup>2</sup> = ''e''，其中''e''是[[单位元]]。这个定义原来与以上的定义没有任何不同，因为群的元素总是从一个集合到它本身的双射，也就是说，“群”的意思是“[[置换群]]”。到了19世纪末，群的定义变得更加广泛，相应地，对合也变得更加广泛。由一个对合通过复合函数生成的双射群，与[[循环群]]''C''<sub>2</sub>同构。

一个[[置换]]是对合，当且仅当它可以写成一个或多个不重合的[[对换]]的乘积。

群的对合对群的结构有很大影响。对合的研究在[[有限单群分类]]中是十分有用的。

== 数理逻辑中的对合 ==

在[[布尔代数]]中补运算是对合。因此在经典逻辑中的否定满足“双重否定律”: ¬¬''A'' 等价于 ''A''。

一般在非经典逻辑中，满足双重否定律的的否定叫做对合性的。在代数语义中，这样的否定被实现为在[[逻辑真值]]的代数上对合。有对合性否定的逻辑的例子有 Kleene 和 Bochvar 的[[三值逻辑]]、[[武卡谢维奇逻辑|Łukasiewicz 多值逻辑]]、[[模糊逻辑]] IMTL 等。对合性否定有时作为额外的连结词而增加到有非对合性否定的逻辑中；比如形式模糊逻辑。

否定的对合性是逻辑和对应的[[簇 (泛代数)|代数簇]]的重要特征性质。例如，对合性否定从[[Heyting代数]]中特征化出了[[布尔代数]]。相应的，经典[[布尔逻辑]]可印发自[[直觉逻辑]]加上双重否定律。

== 对合的总数 ==

在有 ''n'' = 0, 1, 2, … 个元素的集合上对合的数目给出自[[遞迴關係式|递推关系]]:

:''a''(0) = ''a''(1) = 1;
:''a''(''n'') = ''a''(''n'' − 1) + (''n'' − 1) × ''a''(''n'' − 2), 对于 ''n'' > 1.
这个序列的前几项是 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232 {{OEIS|id=A000085}}。

== 参见 ==
* [[自同构]]

[[Category:函數|D]]
[[Category:抽象代數|D]]