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[[數學]]中的'''對稱多項式'''是一种特殊的多元[[多项式]]。假设一个{{math|''n''}}元[[多項式]]{{math|''P''(''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>)}}，當其中的{{math|''n''}}個不定元任意交換後，多項式仍維持不變，就称其为对称多项式。严格的说法是，如果对任意的{{math|''n''}}元置换{{math|''σ''}}，都有{{math|''P''(''X''<sub>''σ''(1)</sub>, ''X''<sub>''σ''(2)</sub>, ..., ''X''<sub>''σ''(''n'')</sub>)}} = {{math|''P''(''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>)}}，就说{{math|''P''}}是对称多项式。

对称多项式最早是在出现在对一元多项式方程求根的研究中。一元多项式方程的系数可以用它的根的多项式来表达。而多项式的任何一个根的地位理当与余者都相同，所以这类多项式中，不定元进行置换不应当改变多项式。从这个角度来说，将多项式方程的根构成的系数多项式称为'''基本对称多项式'''是合理的。有定理说明，任意的对称多项式都可以表达为基本对称多项式的多项式。

==例子==
以下是兩個變數的對稱多項式的例子：

*<math>P(X_1, X_2) = X_1{}^3+ X_2{}^3-7</math>
*<math>P(X_1, X_2) = 4 X_1  X_2</math>

以下是三個變數的對稱多項式的例子：

*<math>P(X_1, X_2, X_3) = X_1 X_2 X_3 - 2 X_1 X_2 - 2 X_1 X_3 - 2 X_2 X_3</math>

並不是所有多項式都是對稱的，例如 <math>P(X_1, X_2) = X_1 - 2X_2</math>就不對稱，因為把<math>X_1</math>和<math>X_2</math>對換後，會得到<math>X_2 - 2X_1</math>，不等於原來的多項式。

有很多方法可以構造特殊的 n 個變數的多項式，下面舉一個例子

: <math>D(X_1,\dots,X_n)=\prod_{1\leq i<j\leq n}(X_i-X_j)^2</math>

因為將 <math>X_1, X_2, ..., X_n</math> 做置換只是在改變相乘的順序以及在括弧乘以 ±1，不會影響 D 的函數值，因此 D 是對稱多項式。此外，如果 <math>X_1, X_2, ..., X_n</math>是 n 次{{Translink|en|monic polynomial|首一多项式}} f 的 n 個根，則 D 是 f 的判別式。

== 伽羅瓦理論 ==
{{Main|伽羅瓦理論}}對稱多項式出現在單變數手依多項式的研究中。考慮一個[[體 (數學)|體]]上的 n 次多項式，並且有 n 個根，從另一個方便來說，這 n 個根決定了這個多項式，若將 n 個根視為 n 個獨立的變數，則原多項式的各項係數是由 n 個根所形成的對稱多項式。這些由 n 個根生成係數的對稱多項式被稱為初等對稱多項式。

上述觀念可以衍伸出一個解多項式的方法，定義一個映射，將多項式的各項係數送到多項式的所有根，換言之，要解出基本對稱多項式方程組。因此，本映射可以被視為是在「破壞對稱性」。這使我們可以藉由研究根的[[置換群]]來求解多項式，這個觀念是{{Tsl|en|Lagrange resolvent|拉格朗吉預解式}}的原型，之後在伽羅瓦理論中會有進一步的發展。

== 單變數首一多項式的根 ==
更具體的來說，假設 f(t) 是一個以 t 為變數的 n 次首一多項式，即

: <math>f(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_2t^2+a_1t+a_0</math>

其中係數 <math>a_0,\dots, a_{n-1}</math>是體 K 中的元素。f(t) 在 K 中不見得會有根，但是如果考慮 K 的[[代數閉包]] <math>\bar K</math>，f(t) 在 <math>\bar K</math> 中一定會有 n 個根 <math>x_1,\dots, x_n</math>。舉個特殊的例子，如果 K 是[[實數域|實數體]] <math>\mathbb R</math>，則 <math>\bar K</math> 是[[複數|複數體]] <math>\mathbb C</math>。注意到 n 個根會有重複，但下述恆等式一定會成立

: <math>t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_2t^2+a_1t+a_0=(t-x_1)(t-x_2)\cdots(t-x_n)</math>

比較各項係數可以得到[[根與係數|根與係數的關係]]

: [[根與係數|<math>\begin{align} a_{n-1}&=-x_1-x_2-\cdots-x_n\\ a_{n-2}&=x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n = \textstyle\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j\\ & {}\  \, \vdots\\ a_1&=(-1)^{n-1}(x_2x_3\cdots x_n+x_1x_3x_4\cdots x_n+\cdots+x_1x_2\cdots x_{n-2}x_n+x_1x_2\cdots x_{n-1})       = \textstyle(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^n\prod_{j\neq i}x_j\\ a_0&=(-1)^nx_1x_2\cdots x_n.\\ \end{align}</math>]]

這顯示了多項式的係數 <math>a_i</math> 可以被寫成根的對稱多項式，而且不論根如何分布，是否落在原本的體 K 中，是否有重根，皆可以使用相同的對稱多項式表示出原本的係數。

從另一方面來說，如果把 n 個根視為獨立變數，記做 <math>X_1, X_2, ..., X_n</math>，原多項式的係數就變成了對稱多項式，這些對稱多項式，忽略前面的係數 <math>(-1)^{n-i}</math>，被定義成'''初等對稱多項式'''。換句話說，初等對稱多項式是以 t 為變數的多項式

:<math>(t+X_1)(t+X_2)\cdots(t+X_n)</math>

的展開式中的各項係數。

例如當 n = 3 時，初等對稱多項式為 <math>X_1+X_2+X_3</math>、<math>X_1X_2 + X_2X_3 + X_3X_1</math>和 <math>X_1X_2X_3</math>。

== 對稱多項式基本定理 ==
對稱多項式基本定理說，n 個變數體 K 上的多項式 f 是一些 n 個變數的初等對稱多項式的代數組合 (經由相加、乘上 K 中的常數、相乘所得到的元素)，若且唯若 f 是對稱多項式。

例如當 n=3 時，兩個初等對稱多項式 <math>X_1+X_2</math>和 <math>X_1 X_2</math>。對稱多項式 <math>P(X_1, X_2) = X_1^3+ X_2^3-7</math>可以被表示成

:<math>X_1^3+ X_2^3-7=(X_1+X_2)^3-3X_1X_2(X_1+X_2)-7</math>

本定理有一個關於直接推論，將首一多項式的 n 個根帶入一個對稱多項式，等於將原多項式的各項係數帶入某個多項式，因此，就算 n 個根只落在代數閉包 <math>\bar K</math> 中，將它們帶入一個對稱多項式後所得到的數值必定會落在 K 之中。例如{{Translink|en|Newton's identities|牛頓恆等式}}是關於如何用原係數表示 n 個根的等冪次之和。

== 一些常見的對稱多項式 ==

以下是一些用初等的方法就可以構造出來的對稱多項式，而它們都是以 X<sub>1</sub>, X<sub>2</sub>, …, X<sub>n</sub> 為變數。

=== 單項對稱多項式 === 
<!--[[單項對稱多項式]] redirects here -->
將對稱多項式做相乘或取次方會使表達式變得複雜。有一個相對簡單的構造方式是考慮一個單項式，並且任意交換它的變數，將取得的所有可能的變體通通加起來得到一個對稱多項式，稱為'''單項對稱多項式'''。因此單項對稱多項式是對稱多項式的基底，適當地將它做相加可得到所有對稱多項式。更準確地的定義如下：一個以 X<sub>1</sub>, …, X<sub>n</sub> 為變數的單項式可以寫作 X<sub>1</sub><sup>α<sub>1</sub></sup>…X<sub>n</sub><sup>α<sub>n</sub></sup> ，其中次方 α<sub>i</sub> 可以是正整數或 0。為了表達方便，定義 α&nbsp;=&nbsp;(α<sub>1</sub>,…,α<sub>n</sub>) 則以上的單項式可以被縮寫成 X<sup>α</sup>。而單項對稱多項式m<sub>α</sub>(X<sub>1</sub>, …, X<sub>n</sub>) 定義為所有 x<sup>β</sup> 的總和，其中 β 跑遍所有 α&nbsp;=&nbsp;(α<sub>1</sub>,…,α<sub>n</sub>) 的「相異」置換。 舉例來說

:<math>m_{(3,1,1)}(X_1,X_2,X_3)=X_1^3X_2X_3+X_1X_2^3X_3+X_1X_2X_3^3</math>,
:<math>m_{(3,2,1)}(X_1,X_2,X_3)=X_1^3X_2^2X_3+X_1^3X_2X_3^2+X_1^2X_2^3X_3+X_1^2X_2X_3^3+X_1X_2^3X_3^2+X_1X_2^2X_3^3.</math>

顯然如果 β 是 α 的一個置換，則 m<sub>α</sub>&nbsp;=&nbsp;m<sub>β</sub>，因此一般而言只需考慮 m<sub>α</sub> 滿足 α<sub>1</sub>&nbsp;≥&nbsp;α<sub>2</sub>&nbsp;≥&nbsp;…&nbsp;≥&nbsp;α<sub>n</sub>，換言之，只需考慮 α 是[[整數分拆]]的情況。給定任何對稱多項式 P，都可以將其中不同類型的單項式分離歸類，因而將 P 寫成單項對稱多項式的[[線性組合]]，是故，單項對稱多項式形成包含所有對稱多項式的空間的一個基底。特別的，如果 P 中的係數都是正整數，則線性組合中的係數也都會是正整數。

基本對稱多項式是單項對稱多項式的特例，因為對任何 0&nbsp;≤&nbsp;k&nbsp;≤&nbsp;n 有

:''<math>e_k(X_1,\ldots,X_n)=m_\alpha(X_1,\ldots,X_n)</math>''

其中 &alpha; 將正整數 k 分拆成 k 個&nbsp;1（後面接著 n&nbsp;−&nbsp;k 個 0）。

=== 次方和對稱多項式 ===
{{Main|次方和對稱多項式}}
對於正整數 k，單項對稱多項式 m<sub>(k,0,…,0)</sub>(X<sub>1</sub>, …, X<sub>n</sub>) 是具有特殊意義的，它被稱做次方和對稱多項式。更具體的來說，定義
:<math>p_k(X_1,\ldots,X_n) = X_1^k + X_2^k + \cdots + X_n^k .</math> 

事實上，所有擁有 n 個變數的對稱多項式都可以藉由一些次方和對稱多項式做相加、相乘及乘以有理數係數的運算而得到，而且可以使其中所使用到的次方和對稱多項式的次方數最高不超過 n。更精確的來說，

:任何以 X<sub>1</sub>, &hellip;, X<sub>n</sub> 為變數的對稱多項式都可以被表示成一個 n 個變數多的項式，其中各變數代入次方和多項式 p<sub>1</sub>(X<sub>1</sub>, &hellip;, X<sub>n</sub>), &hellip;, p<sub>n</sub>(X<sub>1</sub>, &hellip;, X<sub>n</sub>)

特別的，其他次數 k > n 的次方和多項式 ''p''<sub>''k''</sub>(''X''<sub>1</sub>, …, ''X''<sub>''n''</sub>) 也可以用前 n 個對稱多項式表示，例如

:<math>p_3(X_1,X_2)=\textstyle\frac32p_2(X_1,X_2)p_1(X_1,X_2)-\frac12p_1(X_1,X_2)^3.</math>

與單項對稱多項式以及完全齊次對稱多項式不同的是，一個''整'' 係數的對稱多項式可能無法被表示成 n 個變數的''整'' 係數多項式，其中各變數代入次方和多項式 p<sub>1</sub>(X<sub>1</sub>, &hellip;, X<sub>n</sub>), &hellip;, p<sub>n</sub>(X<sub>1</sub>, &hellip;, X<sub>n</sub>)。例如對 n&nbsp;=&nbsp;2，對稱多項式

:<math>m_{(2,1)}(X_1,X_2) = X_1^2 X_2 + X_1 X_2^2</math>

只能被表達成
:<math> m_{(2,1)}(X_1,X_2)= \textstyle\frac12p_1(X_1,X_2)^3-\frac12p_2(X_1,X_2)p_1(X_1,X_2).</math>

然而，如果有 3 個變數的話，情況又變得不同

:<math>\begin{align}m_{(2,1)}(X_1,X_2,X_3) &= X_1^2 X_2 + X_1 X_2^2 + X_1^2 X_3 + X_1 X_3^2 + X_2^2 X_3 + X_2 X_3^2\\
  &= p_1(X_1,X_2,X_3)p_2(X_1,X_2,X_3)-p_3(X_1,X_2,X_3).
\end{align}</math>

如果將上式的 X<sub>3</sub> 代入 0，也可以得到一個 2 個變數情況的表示式，然而該表示式中包含多項式 p<sub>3</sub>，因此不適用於 2 變數的敘述條件。從上述例子可以看出，不同的變數個數可能會影響到同一個單項對稱多項式是否能被次方和對稱多項式以整係數的代數組合表達。然而，對於 n&nbsp;≥&nbsp;2，基本對稱多項式 e<sub>n</sub> 都不能表達成次方和對稱多項式的整係數代數組合表達(注意到 n = 1 時 e<sub>1</sub> = p<sub>1</sub>)。藉由[[牛頓恆等式]]可以很容易推得上述結論，並且會有其中若干個係數的分母是 n。因為這個緣故，前述的結論只在任何包含有理數的環中成立，在有限[[特徵 (代數)|特徵]]的環中不成立。

== 初等對稱多項式 ==

===与等幂和的性质===
以下用a表示[[对称多项式]]，s表示等幂和：

<math>\prod_{r=1}^n (x-x_r)=\sum_{r=0}^n a_r x^r=0,s_m=\sum_{r=1}^n x_r^m</math>
====牛顿公式====
<math>s_m+a_1s_{m-1}+a_2s_{m-2}+...+a_{m-1}s_1+ma_m=0</math><ref>{{cite journal|author=沈南山|year=2005|title=牛顿(Newton)公式的一个注记及其应用|journal=数学通报|issue=3|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-SXTB20050300H.htm}}</ref>

证明如下：

<math>\displaystyle(\sum_{i=1}^n k_i x_i^r)\sum_{i_1 \neq i_2 \neq ... \neq i_{s-r}} x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_{s-r}}
=\sum_{i_1 \neq i_2 \neq ... \neq i_{s-r}} k_{i_1}x_{i_1}^{r+1}x_{i_2}...x_{i_{s-r}}
+\sum_{i_1 \neq i_2 \neq ... \neq i_{s-r}} k_{i_1}x_{i_1}^{r}x_{i_2}...x_{i_{s-r+1}}</math>

<math>\displaystyle\sum_{i_1 \neq i_2 \neq ... \neq i_{s-1}} k_{i_1}x_{i_1}^{2}x_{i_2}...x_{i_{s-1}}+\sum_{i_1 \neq i_2 \neq ... \neq i_{s}} k_{i_1}x_{i_1}^{1}x_{i_2}...x_{i_{s}}-\sum_{i_1 \neq i_2 \neq ... \neq i_{s-2}} k_{i_1}x_{i_1}^{3}x_{i_2}...x_{i_{s-2}}-\sum_{i_1 \neq i_2 \neq ... \neq i_{s-1}} k_{i_1}x_{i_1}^{2}x_{i_2}...x_{i_{s-1}}+...</math>

<math>\displaystyle(-1)^{s-1}\sum_{i_1} k_{i_1}x_{i_1}^{s}+\sum_{i_1 \neq i_2 \neq ... \neq i_{s}} k_{i_1}x_{i_1}^{1}x_{i_2}...x_{i_{s}}=\sum_{r=1}^{s-1} (-1)^r (\sum_{i=1}^n k_i x_i^r)\sum_{i_1 \neq i_2 \neq ... \neq i_{s-r}} x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_{s-r}}</math>

====组合公式====
两项时使等幂和分解为积与和的组合，如<math>x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2</math>：

:<math>x_1^m+x_2^m=\sum_{r=0}^{\lfloor \frac{m}{2} \rfloor}\frac{mC_{m-r}^{r}}{m-r}(x_1+x_2)^{m-2r}(-x_1 x_2)^r</math>

用[[数学归纳法]]可证明高维的形式：

:<math>s_m=\sum_{r_i=0}^{\lfloor \frac{m}{i} \rfloor} \frac{m(r_1+r_2+...+r_n -1)!}{r_1!r_2!...r_n!} \prod_{i=1}^n (-a_{n-i})^{r_i}</math>

::<math>f(m,r_1,...,r_n)=f(m-1,r_1-1,...,r_n)+...+f(m-n,r_1,...,r_n-1)</math>

::<math> \frac{(m-1)(r_1+...+r_n-2)!}{(r_1-1)!...r_n!}+...+\frac{(m-n)(r_1+...+r_n-2)!}{r_1!...(r_n-1)!}=\frac{[r_1(m-1)+...+r_n(m-n)](r_1+...+r_n-2)!}{r_1!...r_n!}</math>

::<math>=\frac{[m(r_1+...+r_n)-m](r_1+...+r_n-2)!}{r_1!...r_n!}=\frac{m(r_1+...+r_n-1)!}{r_1!...r_n!}</math>

取<math>m=n=3</math>
:<math>\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=\frac{3(3-1)!}{3!}(x_1+x_2+x_3)^3+\frac{3(1+1-1)!}{1!1!}(x_1+x_2+x_3)(-x_1x_2-x_1x_3-x_2x_3)+\frac{3(1-1)!}{1!}(x_1x_2x_3)</math>
:<math>x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)+3(x_1x_2x_3)</math>

也可以把[[对称多项式]]表达成等幂和：

:<math>a_{n-m}=\sum_{r_i=0}^{\lfloor \frac{m}{i} \rfloor} \prod_{i=1}^m \frac{(-s_i)^{r_i}}{i^{r_i} r_i !}</math>

::<math>mf(r_1,...,r_m)=f(r_1-1,...,r_m)+...+f(r_1,...,r_m-1)</math>

::<math>r_1\prod_{i=1}^m \frac{1}{i^{r_i} r_i!}+...+mr_m\prod_{i=1}^m \frac{1}{i^{r_i} r_i!}=m\prod_{i=1}^m \frac{1}{i^{r_i} r_i!}</math>

取<math>m=n=3</math>
:<math>\displaystyle -x_1x_2x_3=\frac{1}{1^3 3!}(-x_1-x_2-x_3)^3
+\frac{1}{1^1 1! 2^1 1!}(-x_1-x_2-x_3)(-x_1^2-x_2^2-x_3^2)
+\frac{1}{3^1 1!}(-x_1^3-x_2^3-x_3^3)</math>
:<math>\displaystyle x_1x_2x_3=\frac{1}{6}(x_1+x_2+x_3)^3-\frac{1}{2}(x_1+x_2+x_3)(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+\frac{1}{3}(x_1^3+x_2^3+x_3^3)</math>

==参见==
*[[等幂求和]]
*[[麦克劳林不等式]]

==参考资料==
{{reflist}}

{{Basic identity}}
{{Authority control}}
[[Category:多项式|D]]
[[Category:对称]]