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{{线性代数}}
'''對角矩陣'''（{{lang-en|diagonal matrix}}）是一個[[主對角線]]之外的元素皆為0的[[矩陣]]。對角線上的元素可以為0或其他值。因此n行n列的矩陣<math>\mathbf{D}</math> = (d<sub>i,j</sub>)若符合以下的性質：

<math>d_{i,j} = 0 \mbox{ if } i \ne j  \qquad \forall i,j \in
    \{1, 2, \ldots, n\}</math>

則矩陣<math>\mathbf{D}</math>為對角矩陣。

== 例子 ==

<math>
\begin{pmatrix} 
a & 0 & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c 
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 
1 & 0 \\
0 & 7
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 
2
\end{pmatrix}
</math>

均為對角矩陣
== 矩陣運算 ==
;加法
<math>\begin{bmatrix}a_1 &  &  & \\  & a_2 &  & \\  &  & \ddots & \\  &  &  & a_n\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}b_1 &  &  & \\  & b_2 &  & \\  &  & \ddots & \\  &  &  & b_n\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}a_1+b_1 &  &  & \\  & a_2+b_2 &  & \\  &  & \ddots & \\  &  &  & a_n+b_n\end{bmatrix}</math>

;[[矩阵乘法|乘法]]
<math>\begin{bmatrix}a_1 &  &  & \\  & a_2 &  & \\  &  & \ddots & \\  &  &  & a_n\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}b_1 &  &  & \\  & b_2 &  & \\  &  & \ddots & \\  &  &  & b_n\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}a_1b_1 &  &  & \\  & a_2b_2 &  & \\  &  & \ddots & \\  &  &  & a_nb_n\end{bmatrix}</math>

;[[逆矩阵]]
<math>\begin{bmatrix}a_1 &  &  & \\  & a_2 &  & \\  &  & \ddots & \\  &  &  & a_n\end{bmatrix}^{-1}=
\begin{bmatrix}a_1^{-1} &  &  & \\  & a_2^{-1} &  & \\  &  & \ddots & \\  &  &  & a_n^{-1}\end{bmatrix}</math>
若且唯若 <math>a_1,a_2,\cdots, a_n</math> 均不為零。

== 性质 ==
* 對角矩陣都是[[對稱矩陣]]。
* 對角矩陣是[[三角矩陣|上三角矩陣]]及[[三角矩陣|下三角矩陣]]。
* [[單位矩陣]] <math>\mathbf I_n</math> 及[[零矩陣]]恆為對角矩陣。一維的矩陣也恆為對角矩陣。
* 一個對角線上元素皆相等的對角矩陣是数量矩阵，可表示為單位矩陣及一个系数 <math>\lambda</math> 的乘積 <math>\lambda\mathbf I_n</math>。
* 一對角矩陣 <math>\text{diag}\left (a_1, \dots, a_n \right )</math> 的[[特徵值]]為 <math>a_1, \dots, a_n</math>，其[[特徵向量]]為[[單位向量]] <math>\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n</math>。
* 一對角矩陣 <math>\text{diag}\left (a_1, \dots, a_n \right )</math> 的[[行列式]]為其特徵值的乘積，即 <math>\prod_{i = 1}^n a_i</math>。

== 方阵与对角矩阵相似的充分必要条件 ==
<math>n</math>阶方阵可进行对角化的充分必要条件是：
* <math>n</math>阶方阵存在<math>n</math>个线性无关的特征向量
**推论：如果这个<math>n</math>阶方阵有<math>n</math>阶个不同的[[特征值]]，那么矩阵必然存在相似矩阵
* 如果<math>n</math>阶方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数

== 參考 ==
* [[三角矩陣]]
* [[對角優勢矩陣]]

[[分类:线性代数|D]]
[[Category:矩陣|D]]