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{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
在'''數學上'''，'''局部域'''是一類特別的[[域]]，它有非平凡的[[絕對值]]，此絕對值賦予的拓撲是[[局部緊]]的。局部域可粗分為兩類：一種的絕對值滿足阿基米德性質（稱作'''阿基米德局部域'''），另一種的絕對值不滿足阿基米德性質（稱作'''非阿基米德局部域'''）。在[[數論]]中，[[數域]]的[[完備化]]給出局部域的典型例子。

==非阿基米德局部域==
設<math>F</math>為非阿基米德局部域，而<math>|\cdot|</math>為其絕對值。關鍵在下述對象：
* 閉單位球：<math>\{a\in F: |a|\leq 1\}</math>，或其'''整數環'''<math>\mathcal{O}</math>，這是個[[緊集]]。
* 整數環裡的'''單位元素'''：<math>\mathcal{O}^\times = \{a\in F: |a|= 1\}</math>
* 開單位球：<math>\{a\in F: |a|< 1\}</math>，這同時是其整數環裡唯一的[[極大理想]]，也記作<math>\mathfrak{m}</math>。

上述對象與[[賦值環]]的構造相呼應；事實上，可證明必存在實數<math>0 < c < 1</math>及[[賦值|離散賦值]]<math>v: F^\times \rightarrow \mathbb{Z}</math>，使得

:<math>\forall a \in F \; c^{v(a)}=|a|</math>.

可取唯一的<math>c</math>使得<math>v</math>為滿射，稱之為'''正規化賦值'''。

從此引出非阿基米德局部域的另一個等價定義：一個域<math>F</math>，帶離散賦值<math>v: F^\times \rightarrow \mathbb{Z}</math>，使得<math>F</math>成為完備的拓撲域，而且剩餘域有限。

這類局部域的行為可由[[局部類域論]]描述。

==分類==
局部域的完整分類如次：
* <math>\mathbb R, \mathbb C</math>。這些是阿基米德局部域。
* [[p進數]]域<math>\mathbb{Q}_p</math>的有限擴張。這些是特徵為零的非阿基米德局部域。
* <math>\mathbb{F}_q((T))</math>的有限擴張（其中<math>\mathbb{F}_q</math>表有q個元素的[[有限域]]）。這些是特徵非零的非阿基米德局部域。

==文獻==

* Milne, James, [http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/math676.html '''Algebraic Number Theory'''].
*{{cite book | first=Jean-Pierre | last=Serre  | title=Corps locaux | publisher=Hermann | year=1968 }}

{{ModernAlgebra}}

[[Category:域論|J]]
[[Category:代數數論|J]]