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在[[統計學]]中，'''峰度'''（Kurtosis）衡量[[實數]][[隨機變量]][[概率分布]]的峰態。峰度高就意味著[[方差]]增大是由低頻度的大於或小於[[平均值]]的極端差值引起的。 

[[Image:KurtosisChanges.png|thumb|200px|遠紅光對[[小麥]][[胚芽鞘]][[向地性|向地反應]]的平均速度沒有影響，但是峰度由低峰態轉變成了尖峰態 (−0.194 → 0.055)]]

==定義==
四階[[標準矩]]可以定義為：
:<math>\frac{\mu_4}{\sigma^4},\! </math>

其中μ<sub>4</sub>是四階[[中心矩]]，σ是[[標準差]]。

在更通常的情況下，峰度被定義為四階[[累積量]]除以二階累積量的平方，它等於四階中心矩除以[[概率分布]]方差的平方再減去3：
:<math>\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{\kappa_2^2} = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3</math>

這也被稱為超值峰度（excess kurtosis）。「減3」是為了讓[[正態分布]]的峰度為0。

假定''Y''為''n''個獨立變量之和，且這些變量和''X''具有相同的分布，那麽：Kurt[''Y'']&nbsp;=&nbsp;Kurt[''X'']&nbsp;/&nbsp;''n''，
但如果峰度被定義為：μ<sub>4</sub>&nbsp;/&nbsp;σ<sup>4</sup>，公式可變得更加複雜。

更一般地說，假定''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub> 為方差相等的獨立隨機變量，那麼：

:<math>\operatorname{Kurt}\left(\sum_{i=1}^n X_i \right) = {1 \over n^2} \sum_{i=1}^n \operatorname{Kurt}(X_i),</math>
而定義中如果不包含「減3」就無法成立。

如果超值峰度為正，稱為尖峰態（leptokurtic）。如果超值峰度為負，稱為低峰態（platykurtic）。

==樣本峰度==
對於具有''n''個值的[[樣本]]，'''樣本峰度'''為：

:<math> g_2 = \frac{m_4}{m_{2}^2} -3 = \frac{\tfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^4}{\left(\tfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2\right)^2} - 3 </math>

其中''m''<sub>4</sub>是四階樣本中心矩，''m''<sub>2</sub>是二階中心矩（即使[[樣本方差]]），''x''<sub>''i''</sub>是第''i''<sup>th</sup>個值，<math>\overline{x}</math>是[[樣本平均值]]。注意此处计算方差的时候除数是N，而不是单独计算样本方差的(N-1)。

有時候也使用公式：
:<math> D = {1 \over n} \sum_{i=1}^n{ (x_i - \bar{x})^2} </math>,
:<math> E = {1 \over n D^2} \sum_{i=1}^n{ (x_i - \bar{x})^4} - 3 </math>
其中，n為樣本大小，''D''為事先計算的方差，x<sub>i</sub>為第i個測量值，<math>\bar{x}</math>為事先計算的[[算術平均數]]。

在一些统计软件中，其公式有所差别。如EXCEL，计算样本的峰度公式如下：
:<math> \text{Kurtosis} = {n(n+1) \over (n-1)(n-2)(n-3)}\sum_{i=1}^n({x_i-\bar{x} \over \text{StDev}})^4 - {3(n-1) ^2\over (n-2)(n-3)} </math>

==參見==
*[[偏度]]

==參考資料==
*Joanes,<!--sic--> D. N. & Gill, C. A. (1998) Comparing measures of sample skewness and kurtosis. ''Journal of the Royal Statistical Society (Series&nbsp;D): The Statistician'' '''47''' (1), 183–189. {{doi|10.1111/1467-9884.00122}}
*[http://www.spcforexcel.com/are-skewness-and-kurtosis-useful-statistics Are the Skewness and Kurtosis Useful Statistics?]
{{統計學}}
[[Category:概率论]]