查看“巴塔林-维尔可维斯基代数”的源代码

{{Link style|time=2015-12-11T10:29:42+00:00}}
'''Batalin-Vilkovisky代数'''（[[:en:Batalin-Vilkovisky algebra|Batalin-Vilkovisky algebra]]，简称'''BV代数'''）是Batalin和Vilkovisky在研究[[规范场]]的[[量子化]]过程中发现的一种代数结构<ref> I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Gauge algebra and quantization. Phys. Lett. B 102 (1981), no. 1, 27-31.</ref><ref>I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Quantization of gauge theories with linearly dependent generators. Phys. Rev. D (3) 28 (1983), no. 10, 2567-2582.</ref>。他们所提出的量子化方法（称为[[:en:BV formalism|BV formailism]]或者[[:en:BV quantization|BV quantization]]），是一种十分普遍而且有效的量子化方法，正受到越来越多的[[量子场论]]学家和[[弦理论]]家的重视和应用，而BV代数也越来越受到数学家们的重视。

==定义==

设<math>\; V\; </math>是[[数域]]<math>\; k\; </math>上的一个分次(graded)[[线性空间]]。<math>\; V\; </math>上的一个BV代数结构是三元组<math>\; (V,\bullet,\Delta)\; </math>，满足以下两个关系：
# <math>\; (V,\bullet)\; </math>是<math>\; k\; </math>上的分次、交换、结合的[[代数]](algebra)；
# <math>\; \Delta\; </math>是关于<math>\; \bullet\; </math>的[[二阶微分算子]]，即<math>\; \Delta\; </math>的度数为1，<math>\; \Delta^2=0\; </math>，并且对任给的<math>\; a,b,c\in V\; </math>,
<center><math>\; 
\begin{matrix}
\Delta(a\bullet b\bullet c)&=&\Delta(a\bullet b)\bullet c+(-1)^{|a|}a\bullet \Delta(b\bullet c)+(-1)^{(|a|+1)|b|}b\bullet \Delta (a\bullet c)\\
&&-(\Delta a)\bullet b\bullet c-(-1)^{|a|}a\bullet (\Delta b)\bullet c-(-1)^{|a|+|b|}a \bullet b\bullet (\Delta c).\; \end{matrix}</math></center>

在上面的定义中，如果令

<center><math>\;[a,b]=(-1)^{|a|}\Delta(a\bullet b)-(-1)^{|a|}(\Delta a)\bullet b-a\bullet (\Delta b),\;</math></center>
则可以验证，<math>\; (V,\bullet,[\;,\;])\; </math>形成一个[[Gerstenhaber代数]]。因此可以说，BV代数是一类特殊的Gerstenhaber代数。不仅如此，<math>\; \Delta\; </math>还是关于<math>\; [\;,\;]\; </math>的[[导子]](derivation)，即
<center><math>\;\Delta[a,b]=[\Delta a,b]+(-1)^{|a|+1}[a,\Delta b],\;</math></center>
使得<math>\;(V,[\;,\;],\Delta)</math>形成一个微分分次[[李代数]](differential graded Lie algebra, DGLA)。

==例子==

迄今为止所发现的BV代数的例子几乎都与[[数学物理]]有关。

#设<math>\; M\; </math>是一个奇的[[辛流形]](odd symplectic manifold)，记<math>\; C^{\infty}(M)\; </math>为<math>\; M\; </math>上光滑函数组成的集合。我们有<math>\; C^{\infty}(M)\; </math>形成一个分次交换结合的代数，记其乘法为<math>\; \bullet\; </math>。设<math>\; (x^1,\cdots,x^n;\eta^1,\cdots,\eta^n)\; </math>为<math>\; M\; </math>上的一组[[Darboux坐标]]，令<center><math>\; \Delta=\sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x^i}\frac{\partial}{\partial \eta^i},\; </math></center>则可以验证，<math>\; (C^{\infty}(M),\bullet,\Delta)\; </math>形成一个BV代数，参见<ref>A. Schwarz, Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization, arxiv: hep-th/9205088</ref><ref>D. Fiorenza, An introduction to the Batalin-Vilkovisky formalism, arxiv: math.QA/0402057 </ref>；
#田刚(G. Tian)在关于[[卡拉比-丘流形]]([[Calabi-Yau manifold]])的[[复结构]]的[[形变]]空间是光滑的证明中，实际上证明了控制复结构形变的微分分次[[李代数]]是一个BV代数<ref>G. Tian, Smoothness of the universal deformation space of compact Calabi-Yau manifolds and its Petersson-Weil metric. Mathematical aspects of string theory (San Diego, Calif., 1986), 629-646, Adv. Ser. Math. Phys., 1, World Sci. Publishing, Singapore, 1987.</ref>；
#B. Lian和G. Zuckerman证明了量子场论的数学背景(background，指从量子场论中抽象出来的代数结构)有一个BV代数结构<ref>B. Lian and G. Zuckerman, New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646.</ref>；
#E. Getzler用不同于Lian和Zuckerman的方法证明，一个二维[[拓扑共形场论]](TCFT，此处采用Segal的定义)的[[同调群]]有一个自然的BV代数结构<ref>E. Getzler, Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories. Comm. Math. Phys. 159 (1994), no. 2, 265-285.</ref>；
#M. Chas和D. Sullivan证明，一个流形的[[自由环路空间]](free loop space)的同调群上有一个BV代数结构<ref>M. Chas and D. Sullivan, String topology, arxiv:  math-GT/9911159. </ref>。

==背景==

正如上面所述，BV代数跟量子场论有密切的联系。事实上，对一些数学物理学家来说，一个量子场论就指一个BV代数以及其中一个元素<math>\; S\;</math>，该元素满足以下方程：<center><math>\;\Delta e^S=0\quad \Big(\;</math>等价于<math>\;\Delta S+\frac{1}{2}[S,S]=0\Big),\;</math></center>称为[[Master方程]]，有时候<math>\;S\;</math>必须满足所谓的[[量子Master方程]]，即<center><math>\;\Delta e^{\frac{S}{\hbar}}=0.\;</math></center>

另外，BV代数跟弦理论里面的[[镜像对称]]([[Mirror Symmetry]])也有密切的关系。事实上，镜像对称的[[A模型]]和[[B模型]]都有一个BV代数，而它们相应的Master方程的解空间上都有一个所谓[[弗罗贝尼乌斯流形]]的结构。镜像对称的一种表述就是，这两个Frobenius流形是同构的。

BV代数的研究是目前数学特别是数学物理中一个比较活跃的领域，关于它的研究仍在进行之中。

==参考文献==
<references/>

[[Category:代数拓扑]]

{{弦理论}}