查看“巴巴散射”的源代码

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="right"
! style="background:#ffdead;" |巴巴散射的[[费曼图]]
|-
| align="center" | '''湮灭'''<br>[[File:Electron-positron-annihilation.svg|220px]]
|-
| align="center" | '''散射'''<br>[[File:Electron-positron-scattering.svg|220px]]
|}

[[量子电动力学]]中，'''巴巴散射'''（英文：{{lang|en|BhaBha Scattering}}）是指[[电子]]-[[反电子]]的[[散射]]过程，其中伴随有交换[[虚粒子|虚光子]]：
::<math>e^+ e^- \rightarrow e^+ e^-</math>

巴巴散射散射振幅的领头项包含有两个[[费曼图]]的贡献：一个是[[湮灭]]过程，一个是散射过程。巴巴散射的散射率在[[粒子加速器|正负电子对撞机]]中被用来当作[[光度]]的监视指标。在[[电动力学|经典电动力学]]中，巴巴散射实际就是正负电子通过[[库仑力]]相互吸引的过程<ref>{{cite web|title=

Bhabha Scattering -- from Eric Weisstein's World of Physics

| url=http://scienceworld.wolfram.com/physics/BhabhaScattering.html}}</ref>。

巴巴散射的名称来源于[[印度]]物理学家[[霍米·J·巴巴]]（{{lang|en|Homi J. Bhbha}}）。

下面的推导是量子电动力学中用费曼图计算粒子散射截面的典型方法。
==散射微分截面==

对[[自旋]]取平均的[[散射微分截面]]为

::<math>\frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} (\cos\theta)} = \frac{\pi \alpha^2}{s} \left( u^2 \left( \frac{1}{s} + \frac{1}{t} \right)^2 + \left( \frac{t}{s} \right)^2 + \left( \frac{s}{t} \right)^2 \right) \,</math>

这里''s''，''t''和''u''是[[曼德尔斯坦变量]]，<math>\alpha\,</math>是[[精细结构常数]]，<math>\theta\,</math>是散射角。散射截面的计算中忽略了电子的质量对碰撞的能量的贡献，而只考虑了交换[[虚粒子|虚光子]]过程所做的贡献。这个近似对于和[[Z玻色子]]的质量（约<math>91GeV\,</math>）相比很小的碰撞能量是成立的；对于相比不那么小的碰撞能量，Z玻色子的交换过程所做的贡献也要被考虑。

===曼德尔斯坦变量===
在此条目中，[[曼德尔斯坦变量]]定义为
::{|
|align="right"|<math>s= \,</math>
|align="right"|<math>(k+p)^2= \,</math>
|align="right"|<math>(k'+p')^2 \approx \,</math>
|align="right"|<math>2 k \cdot p \approx\,</math>
|align="right"|<math> 2 k' \cdot p' \,</math>
|rowspan="3"|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[File:Mandelstam01.png]]
|-
|align="right"|<math>t= \,</math>
|align="right"|<math>(k-k')^2= \,</math>
|align="right"|<math>(p-p')^2\approx  \,</math>
|<math> -2 k \cdot k' \approx \,</math>
|<math> -2 p \cdot p' \,</math>
|-
|align="right"|<math>u= \,</math>
|align="right"|<math>(k-p')^2= \,</math>
|align="right"|<math>(p-k')^2\approx \,</math>
|<math> -2 k \cdot p' \approx \,</math>
|<math> -2 k' \cdot p \,</math>
|}
其中的近似在高能近似（[[相对论]]极限）中成立。

==无偏振散射截面的推导==
===矩阵元===
两个费曼图对散射矩阵的矩阵元都有贡献。这里用''k''和''k' ''表示反电子的[[动量|四维动量]]，用''p''和''p' ''表示电子的四维动量，通过[[费曼图|费曼图的计算法则]]可得到由费曼图给出的矩阵元：

:{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0"
|
|align="center" | [[File:Feynman-scattering.svg|160px]]
|align="center" | [[File:Feynman-annihilation.svg|160px]]
|这里变量的含义为:<br><math>\gamma^\mu \,</math>是[[狄拉克矩阵]],<br><math>u\,</math>和<math>\bar{u}\,</math>是[[费米子]]的四分量[[旋量]]，<br><math>v\,</math>和<math>\bar{v}\,</math>是反费米子的四分量旋量，参见[[狄拉克方程]]。
|-
|
|align="center" | (散射)
|align="center" | (湮灭)
|
|-
|<math>\mathcal{M} = \,</math>
|<math>-e^2 \left( \bar{v}_{k} \gamma^\mu v_{k'} \right) \frac{1}{(k-k')^2} \left( \bar{u}_{p'} \gamma_\mu u_p \right) </math>
|<math>+e^2 \left( \bar{v}_{k} \gamma^\nu u_p \right) \frac{1}{(k+p)^2} \left( \bar{u}_{p'} \gamma_\nu v_{k'} \right) </math>
|
|}

注意到两个过程的矩阵元相差一个负号。

===矩阵元的平方===
计算无偏振的[[散射截面]]时，需要对所有入射粒子的[[自旋]]取'''平均''' (自旋可能的值为''s''<sub>e-</sub>和''s''<sub>e+</sub>)，并且对所有出射粒子的自旋'''求和'''。即，
::{|
|<math>\overline{|\mathcal{M}|^2} \,</math>
|<math> = \frac{1}{(2s_{e-} + 1)(2 s_{e+} + 1)} \sum_{\mathrm{spins}} |\mathcal{M}|^2 \,</math>
|-
|
|<math>= \frac{1}{4} \sum_{s=1}^2 \sum_{s'=1}^2 \sum_{r=1}^2 \sum_{r'=1}^2 |\mathcal{M}|^2 \,</math>
|}

首先计算<math>|\mathcal{M}|^2 \,</math>:
::{| cellpadding=4
|<math>|\mathcal{M}|^2 \,</math>=
|<math> e^4 \left| \frac{(\bar{v}_{k} \gamma^\mu v_{k'} )( \bar{u}_{p'} \gamma_\mu u_p)}{(k-k')^2} \right|^2 \,</math>
| align="center" | (散射)
|-
|
|<math>{}- 2 e^4 \left( \frac{ (\bar{v}_{k} \gamma^\mu v_{k'} )( \bar{u}_{p'} \gamma_\mu u_p)}{(k-k')^2} \right)^* \left( \frac{ (\bar{v}_{k} \gamma^\nu u_p )( \bar{u}_{p'} \gamma_\nu v_{k'}) }{(k+p)^2} \right)  \,</math>
| align="center" | (干涉)
|-
|
|<math>{}+ e^4 \left| \frac{(\bar{v}_{k} \gamma^\nu u_p )( \bar{u}_{p'} \gamma_\nu v_{k'} )}{(k+p)^2} \right|^2 \,</math>
| align="center" | (湮灭)
|}
下面我们分别计算过程所包含的三项。

===散射项===
====矩阵元的平方====
::{|
|<math>|\mathcal{M}|^2 \,</math>
|<math>= \frac{e^4}{(k-k')^4} \Big( (\bar{v}_{k} \gamma^\mu v_{k'} )( \bar{u}_{p'} \gamma_\mu u_p) \Big)^* \Big( (\bar{v}_{k} \gamma^\mu v_{k'})( \bar{u}_{p'} \gamma_\mu u_p) \Big) \,</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>(1) \,</math>
|-
|
|<math>= \frac{e^4}{(k-k')^4} \Big( (\bar{v}_{k} \gamma^\mu v_{k'} )^* ( \bar{u}_{p'} \gamma_\mu u_p)^* \Big) \Big( (\bar{v}_{k} \gamma^\mu v_{k'})( \bar{u}_{p'} \gamma_\mu u_p) \Big) \,</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>(2) \,</math>
|-
|
|align="center" | ([[复共轭]]作用到括号内时会交换次序)
|
|-
|
|<math>= \frac{e^4}{(k-k')^4} \Big( \left(\bar{v}_{k'} \gamma^\mu v_{k} \right) \left( \bar{u}_{p} \gamma_\mu u_{p'} \right) \Big) \Big( \left( \bar{v}_{k} \gamma^\mu v_{k'} \right) \left( \bar{u}_{p'} \gamma_\mu u_p \right) \Big) \,</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>(3) \,</math>
|-
|
|align="center" | (将依赖于同一个动量的项写到一起)
|
|-
|
|<math>= \frac{e^4}{(k-k')^4} \left( \bar{v}_{k'} \gamma^\mu v_{k} \right) \left( \bar{v}_{k} \gamma^\mu v_{k'} \right) \left( \bar{u}_{p} \gamma_\mu u_{p'} \right) \left(  \bar{u}_{p'} \gamma_\mu u_p \right) \,</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>(4) \,</math>
|}

====对自旋求和====
下面我们对四个粒子的所有自旋求和。这里用''s''和''s' ''来表示电子的自旋，''r'' 和''r' ''来表示反电子的自旋。
::{|
|<math> \frac{(k-k')^4}{e^4} \sum_{\mathrm{spins}} |\mathcal{M}|^2 \,</math>
|<math>= \left(\sum_{r'} \bar{v}_{k'} \gamma^\mu (\sum_{r}v_{k} \bar{v}_{k}) \gamma^\mu v_{k'} \right) \left(\sum_{s} \bar{u}_{p} \gamma_\mu (\sum_{s'}{u_{p'} \bar{u}_{p'}}) \gamma_\mu u_p \right) \,</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>(5) \,</math>
|-
|
|<math>= \left( \Big(\sum_{r'} v_{k'} \bar{v}_{k'} \Big) \gamma^\mu \Big(\sum_{r}v_{k} \bar{v}_{k} \Big) \gamma^\mu \right) \left( \Big(\sum_{s} u_p \bar{u}_{p} \Big) \gamma_\mu \Big( \sum_{s'}{u_{p'} \bar{u}_{p'}} \Big) \gamma_\mu \right) \,</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>(6) \,</math>
|-
|
|align="center" | (下一步推导使用[[巴巴散射#完备性关系|完备性关系]])
|
|-
|
|<math>=\operatorname{Tr}\left( (k\!\!\!/' - m) \gamma^\mu (k\!\!\!/ - m) \gamma^\nu \right) \cdot \operatorname{Tr}\left( (p\!\!\!/' + m) \gamma_\mu (p\!\!\!/ + m) \gamma_\nu \right) \,</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>(7) \,</math>
|-
|
|align="center" | (下一步推导使用[[巴巴散射#迹恒等式|迹恒等式]])
|
|-
|
|<math>=\left(4 \left( {k'}^\mu k^\nu - \mathbf{k' \cdot k}\eta^{\mu\nu} + k'^\nu k^\mu \right) + 4 m^2 \eta^{\mu\nu}  \right) \left( 4 \left( {p'}_\mu p_\nu - \mathbf{p' \cdot p}\eta_{\mu\nu} + p'_\nu p_\mu \right) + 4 m^2 \eta_{\mu\nu} \right) \,</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>(8) \,</math>
|-
|
|<math>=32\left( (k' \cdot p') (k \cdot p) + (k' \cdot p) (k \cdot p') -m^2 p' \cdot p - m^2 k' \cdot k + 2m^4 \right) \,</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>(9) \,</math>
|}

这是解的精确形式，但在讨论电子时一般都只考虑能量远大于电子质量的情况，因此忽略电子质量从而得到下面的简化形式：
::{|
|<math>\frac{1}{4} \sum_{\mathrm{spins}} |\mathcal{M}|^2 \,</math>
|<math> = \frac{32e^4}{4(k-k')^4} \left( (k' \cdot p') (k \cdot p) + (k' \cdot p) (k \cdot p') \right) \,</math>
|-
|
|(在相对论极限下使用[[巴巴散射#曼德尔斯坦变量|曼德尔斯坦变量]])
|-
|
|<math>=\frac{8e^4}{t^2} \left(\tfrac{1}{2} s \tfrac{1}{2}s + \tfrac{1}{2}u \tfrac{1}{2} u \right) \,</math>
|-
|
|<math>= 2 e^4 \frac{s^2 +u^2}{t^2} \,</math>
|}

=== 湮灭项 ===
湮灭项的计算过程与散射项类似；由于两个费曼图有交换对称性，并且初始态和最终态的粒子完全相同，因此可以简单地通过重新排列动量的位置得到结果：
::{|
|<math>\frac{1}{4} \sum_{\mathrm{spins}} |\mathcal{M}|^2 \,</math>
|<math> = \frac{32e^4}{4(k+p)^4} \left( (k \cdot k') (p \cdot p') + (k' \cdot p) (k \cdot p') \right) \,</math>
|-
|
|<math>=\frac{8e^4}{s^2} \left(\tfrac{1}{2} t \tfrac{1}{2}t + \tfrac{1}{2}u \tfrac{1}{2} u \right) \,</math>
|-
|
|<math>= 2 e^4 \frac{t^2 +u^2}{s^2} \,</math>
|}

=== 最终解 ===
对于干涉项所用的步骤相同，将三项加在一起从而得到的最终解为

::<math>\frac{\overline{|\mathcal{M}|^2}}{2e^4} = \frac{u^2 + s^2}{t^2} + \frac{2 u^2}{st} + \frac{u^2 + t^2}{s^2} \,</math>

== 简化步骤中用到的关系 ==

===完备性关系===

狄拉克的四分量旋量''u''和''v''满足的完备性关系是

::<math>\sum_{s=1,2}{u^{(s)}_p \bar{u}^{(s)}_p} = p\!\!\!/ + m \,</math>
::<math>\sum_{s=1,2}{v^{(s)}_p \bar{v}^{(s)}_p} = p\!\!\!/ - m \,</math>
:其中
::<math>p\!\!\!/ = \gamma^\mu p_\mu  \,</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (参见[[费曼“斜杠”标记]]（{{link-en|Feynman Slash Notation}} ）)
::<math>\bar{u} = u^{\dagger} \gamma^0 \,</math>

===迹恒等式===

{{main|狄拉克矩阵}}

简化[[狄拉克矩阵]]的迹的方法是迹恒等式，此处用到的三个恒等式为：

#奇数个狄拉克矩阵<math>\gamma_\mu \,</math>的乘积的迹为零；
#<math>\operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu) = 4\eta^{\mu\nu}</math>
#<math>\operatorname{Tr}\left( \gamma_\rho \gamma_\mu \gamma_\sigma \gamma_\nu \right) = 4 \left( \eta_{\rho\mu}\eta_{\sigma\nu}-\eta_{\rho\sigma}\eta_{\mu\nu}+\eta_{\rho\nu}\eta_{\mu\sigma} \right) \,</math>

从这些恒等式可得到一些简化方法，如
::{|
|<math>\operatorname{Tr}\left( (p\!\!\!/' + m) \gamma_\mu (p\!\!\!/ + m) \gamma_\nu \right) \,</math>
|<math> = \operatorname{Tr}\left( p\!\!\!/' \gamma_\mu p\!\!\!/ \gamma_\nu \right) + \operatorname{Tr}\left(m \gamma_\mu p\!\!\!/ \gamma_\nu \right)  \,</math>
|-
|
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>+ \operatorname{Tr}\left( p\!\!\!/' \gamma_\mu m \gamma_\nu \right) + \operatorname{Tr}\left(m^2 \gamma_\mu \gamma_\nu \right) \,</math>
|-
|
|align="center"|(根据式（1），中间两项为零)
|-
|
|<math> = \operatorname{Tr}\left( p\!\!\!/' \gamma_\mu p\!\!\!/ \gamma_\nu \right) + m^2 \operatorname{Tr}\left(\gamma_\mu \gamma_\nu \right)  \,</math>
|-
|
|align="center"|(根据式（2）简化第二项)
|-
|
|<math>= {p'}^{\rho} p^\sigma \operatorname{Tr}\left( \gamma_\rho \gamma_\mu \gamma_\sigma \gamma_\nu \right) + m^2 \cdot 4\eta_{\mu\nu} \,</math>
|-
|
|align="center"|(现在用式（3）简化第一项)
|-
|
|<math>= {p'}^{\rho} p^\sigma 4 \left( \eta_{\rho\mu}\eta_{\sigma\nu}-\eta_{\rho\sigma}\eta_{\mu\nu}+\eta_{\rho\nu}\eta_{\mu\sigma} \right) + 4 m^2 \eta_{\mu\nu} \,</math>
|-
|
|<math>=4 \left( {p'}_\mu p_\nu - \mathbf{p' \cdot p}\eta_{\mu\nu} + p'_\nu p_\mu \right) + 4 m^2 \eta_{\mu\nu} \,</math>
|}

== 用途 ==
巴巴散射在很多正负电子对撞实验中用作对实验光度的监测，精确的光度测量在精确的散射截面测量实验中必不可少。

*[[斯坦福大学]]的大型Z玻色子探测器（{{lang|en|Stanford Large Detector}}）在1993年进行的实验中，小角度的巴巴散射被用来测量实验的光度，测量的相对不确定度低于0.5%<ref>{{cite journal en|author= White, Sharon Leigh| |title=a Study of Small Angle Radiative Bhabha Scattering and Measurement of the Luminosity at SLD|journal= Thesis (PH.D.)--THE UNIVERSITY OF TENNESSEE, 1995.Source: Dissertation Abstracts International, Volume: 57-02, Section: B, page: 1169.|url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1995PhDT.......160W}}</ref>。
*位於日本[[高能加速器研究機構]]的[[Belle實驗|貝爾實驗]]，其[[前置量能器]](Extreme Forward Calorimeter, [https://web.archive.org/web/20060217052623/http://hep1.phys.ntu.edu.tw/BelleEFC/efc.html%7CEFC])即是使用小角度的巴巴散射，來即時地量測該實驗的亮度，並且與中心碘化銫量能器所測得的大角度巴巴散射交互校正。貝爾實驗為目前亮度最高的[[介子|B介子]]工廠。
*正负电子对撞的实验场所是地下的强子共振设备（ 能量约为1GeV至10 GeV），如[[北京]]的电子[[同步加速器]]（{{lang|en|BES}}）、贝尔（{{lang|en|Belle}}）实验和[[介子]]的BaBar实验，这些实验利用大角度的巴巴散射作为光度测量的手段。如要达到相对不确定度小于0.1%的测量精确度，实验测量需要和理论计算结果相比较，理论上要求计算到领导项及其下一个高阶项的[[重整化|辐射修正]]<ref>{{cite journal en|author=C.M. Carloni Calame, C. Lunardini, G. Montagna, O. Nicrosini, F. Piccinini|title= Large-angle Bhabha scattering and luminosity at flavour factories|journal=  Nucl.Phys. |year=2000 |issue=B584 |pages=459-479 |url=http://arxiv.org/abs/hep-ph/0003268}}</ref>。强子散射截面在这些较低能量下的高精度测量是理论计算[[μ子]][[反常磁矩]]的关键条件之一，而计算μ子的反常磁矩能够被用来约束[[超对称]]以及其他超越[[标准模型]]的粒子理论。

== 参考资料 ==
{{reflist}}
*{{lang|en|{{cite book | author=Halzen, Francis; Martin, Alan | title=Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics | publisher=John Wiley & Sons | year=1984 | id=ISBN 0-471-88741-2}}}}
*{{lang|en|{{cite book | author=Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. | title=An Introduction to Quantum Field Theory | publisher=Perseus Publishing | year=1994 | id=ISBN 0-201-50397-2}}}}

{{QED}}

[[Category:量子场论]]
[[Category:量子电动力学]]
[[Category:散射]]