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{{Expert|time=2015-12-14T03:38:43+00:00}}
{{NoteTA
|1 = zh-cn:阿伏伽德罗; zh-tw:亞佛加厥; zh-hk:阿佛加德羅;
}}
{{About|布朗运动|随机的过程|维纳过程|热力学的角度的定义|热力学温度|and|能量均分定理|数学模型|随机游走}}
[[File:Brownian motion large.gif|thumb|250px|模擬的大顆粒塵埃粒子碰撞到更小的粒子，而其以不同的速度在不同方向移動的'''布朗運動'''。]]
[[File:Brownian hierarchical.svg|thumb|粒子的立體空間進行布朗運動的示意圖。]]
'''布朗运动'''（Brownian motion）是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种[[正态分布]]的[[独立增量]]连续[[随机过程]]。它是[[随机分析]]中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是[[马尔可夫过程]]、[[鞅过程]]和[[伊藤过程]]。

它是在西元1827年<small><ref>部分紀錄為1828年。</ref></small>英國植物學家[[罗伯特·布朗]]利用一般的[[顯微鏡]]觀察懸浮於水中由[[花粉]]所迸裂出之微粒時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量[[原子]]的大小，因為就是由[[水]]中的水分子對微粒的碰撞產生的，而不規則的碰撞越明顯，就是原子越大，因此根據布朗運動，定義原子的直徑為10<sup>-8</sup>厘米。

==定義==
自1860年以來，許多[[科學家]]都在研究此種現象，後來發現布朗運動有下列的主要特性：<ref>{{cite news|url=http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_09_3_03/index.html |title= 漫談布朗運動|author=李育嘉}}</ref> 
# 粒子的運動由'''平移'''及'''轉移'''所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。 
# 粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。 
# 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。 
# 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。 
# 粒子的運動永不停止。

== 對於布朗運動之誤解 ==
值得注意的是，布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动，而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。

一般而言，花粉之直徑分布於30～50[[μm]]、最小亦有10μm之譜，相較之下，水分子直徑約0.3[[nm]]（非球形，故依部位而有些許差異。），略為花粉的十萬分之一。因此，花粉難以產生不規則振動，事實上花粉幾乎不受布朗運動之影響。在[[罗伯特·布朗]]的手稿中，「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味著「自花粉粒中迸出之微粒子」，而非指花粉本身。然而在翻譯為諸國語言時，時常受到誤解，以為是「水中的花粉受布朗運動而呈現不規則運動」。積非成是之下，在大眾一般觀念中，此誤會已然根深蒂固。
[[File:Misc pollen.jpg|thumb|200px|花粉具備足夠大小，幾乎無法觀測到布朗運動。]]

在[[日本]]，以[[鶴田憲次]]『物理学叢話』為濫觴，[[岩波書店]]『岩波理科辞典』<small><ref>該辭典已於1987年所發行之第四版中修正。</ref></small>、[[花輪重雄]]『物理学読本』、[[湯川秀樹]]『素粒子』、[[坂田昌一]]『物理学原論（上）』、[[平凡社]]『理科辞典』、[[福岡伸一]]著『生物與無生物之間』，甚至日本的理科課本等等，皆呈現錯誤之敘述。

直到1973年[[横浜市立大学]][[名誉教授]][[植物学]]者[[岩波洋造]]在著書『植物之SEX‐不為人知的性之世界』中，點出此誤謬之前，鮮少有人注意。[[国立教育研究所]][[物理]]研究室長[[板倉聖宣]]在參與製作岩波電影『迴動粒子』（1970年）時，實際攝影漂浮在水中之花粉，卻發現花粉完全沒有布朗運動。遂於1975年3月，以「外行人與專家之間」為題，解說有關布朗運動之誤會。

== 愛因斯坦的理論 ==
在1905年，爱因斯坦提出了相关理论。他的理論有兩個部分：第一部分定義布朗粒子擴散方程式，其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關，而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式，愛因斯坦可決定原子的大小，一莫耳有多少原子，或氣體的克分子量。根據阿伏伽德罗定律，所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升，其中包含的原子的數目被稱為「[[阿伏伽德罗常数]]」。由氣體的莫耳質量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。

爱因斯坦论证的第一部分是，确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。<ref>{{Cite book|title=BROWNIAN MOTION|last=|first=|publisher=|year=|isbn=|location=|pages=5}}</ref>{{citation needed|date=October 2012}} 经典力学无法确定这个距离，因为布朗粒子将会受到大量的撞击，每秒大约发生 10<sup>14</sup> 次撞击。<ref name="Feynman-41">{{cite book|title=The Feynman Lectures of Physics, Volume I|last=Feynman|first=R.|year=1964|pages=41{{hyphen}}1|chapter=The Brownian Movement|chapter-url=http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_41.html}}</ref> 因此，爱因斯坦将之简化，即讨论一个布朗粒子团的运动{{citation needed|date=October 2012}}。

他把粒子在一个的空间中，把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值（<math>\Delta</math> 或者 ''x，''并对其坐标进行变换，让原点成为粒子运动的初始位置）并给出概率密度函数 <math>\varphi(\Delta)</math>。另外，他假设粒子的数量有限，并扩大了密度（单位体积内粒子数量)，展开成泰勒级数 。
: <math>
\begin{align}
\rho(x,t) + \tau \frac{\partial\rho(x)}{\partial t} + \cdots = \rho(x, t+\tau) ={}& \int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x + \Delta, t) \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta
\\
={}& \rho(x, t) \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) \, d \Delta +
 \frac{\partial\rho}{\partial x} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \Delta \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta 
\\
&{}+
 \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta + \cdots
\\
={}& \rho(x, t) \cdot 1 + 0 +
 \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta + \cdots
\end{align}
</math>
第一行中的第二个等式是被 <math>\varphi</math> 这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数，第二项和其他偶数项（即第一项和其他奇数项）由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系：
: <math>
\frac{\partial\rho}{\partial t} = \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2\, \tau} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta + \text{(更 高 阶 的 项  )}
</math>
拉普拉斯算子之前的系数，是下一刻的随机位移量 <math>\Delta</math>，让 D 为质量扩散系数：
: <math> D = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2\, \tau} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta </math>
那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程：
: <math>\frac{\partial\rho}{\partial t}=D\cdot \frac{\partial^2\rho}{\partial x^2},</math>
假設在初始時刻t = 0時，所有的粒子從原點開始運動，擴散方程的解
:<math>\rho(x,t)=\frac{\rho_0}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\frac{x^2}{4Dt}}.</math>

== 数学模型 ==

=== 定义 ===
满足下列条件的[[鞅]]我们称之为布朗运动
# 这个鞅是关于时间连续的。
# 他的平方减去时间项也是一个鞅。

<math>(M_t)</math>是一个布朗运动当且仅当<math>(M_t)</math>为鞅，且<math>(M_t^2-t)</math>也为鞅.

=== 其他定义 ===

[[Image:Brownien2d3000pts.png|thumb|300px|3000步的2维布朗运动的模拟。]]

[[Image:Brownien3d.ogg|thumb|300px|1000步的3维布朗运动模拟。]]

'''一维的定义'''

一维布朗运动<math>\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}</math>是关于时间''t''的一个随机过程，他满足 ：
#（独立增量）设时间''t''和''s''满足''t'' > ''s'',增量<math>\scriptstyle B_t-B_s</math>独立于时间''s''前的过程<math>\scriptstyle (B_u)_{0\leq u \leq s}</math>。 
#（稳定增量和正态性）设时间''t''和''s''满足''t'' > ''s'',增量<math>\scriptstyle B_t-B_s</math>服从均值为0方差为''t''−''s''的正态分布。
# <math>\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}</math>几乎处处连续， 也就是说在任何可能性下， 函数<math>\scriptstyle t\mapsto B_t(\omega)</math>是连续的.
# 通常假设<math>\scriptstyle B_0=0</math>。这种布朗运动我们称它为标准的。

'''等价定义'''

一维布朗运动<math>\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}</math>是关于时间''t''的一个随机过程，他满足 ：
# <math>\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}</math>是一个[[高斯过程]]，也就是说对于所有的时间列：<math>\scriptstyle t_1\leq t_2\leq ...\leq t_n </math>,随机向量：<math>\scriptstyle (B_{t_1},B_{t_2},...,B_{t_n})</math>服从高维高斯分布（正态分布）。
# <math>\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}</math>几乎处处连续。
#对于所有''s''和''t'',均值<math>\scriptstyle \mathbb E[B_t]=0</math>，协方差<math>\scriptstyle E[B_s B_t]=min (s,t)</math>.

'''高维定义'''

 <math>\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}:=\left(B^1_t,B^2_t,...,B^d_t\right)_{t \ge 0}</math>是''d''维布朗运动，只需满足<math>\scriptstyle B^1,B^2,...,B^d</math>为独立的布朗运动。

换句话说，''d''维布朗运动 取值于<math>\scriptstyle \mathbb R^d</math>，而它在<math>\scriptstyle \mathbb R,\mathbb R^2,...,\mathbb R^{d-1}</math>空间上的投影均为布朗运动。

'''Wiener测度的定义'''

设<math>\scriptstyle \mathcal C(\mathbb R^+,\mathbb R)</math>为从<math>\scriptstyle \mathbb R^+</math>到<math>\scriptstyle \mathbb R</math>的连续函数空间，<math>\scriptstyle (\Omega,\mathcal T, \mathbb P)</math>为概率空间。布朗运动为映射
: <math>B: \Omega \longrightarrow   C(\mathbb R^+,\mathbb R) </math>
:           <math> \omega \mapsto \left( t\mapsto B_t(\omega) \right) </math>.
Wiener测度 （或称为布朗运动的分布）设为<math>\scriptstyle W(d\omega)</math>,是映射''B''关于<math>\scriptstyle \mathbb P(d\omega)</math>的图测度。

换句话说，  ''W''是<math>\scriptstyle \mathcal C(\mathbb R^+,\mathbb R)</math>上的一个概率测度，满足对于任何<math>\scriptstyle A\subset  \mathcal C(\mathbb R^+,\mathbb R) </math>，有
:<math>W(A)=\mathbb P((B_t)_{t\geq0}\in A)</math>。

'''备忘'''
* 布朗运动是一种增量服从正态分布的[[萊維過程]]。
* 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性，比如几乎处处连续，轨迹几乎处处不可微等等。
* 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来， 即： 轨迹连续且二次变差为<math>t</math>的随机过程为布朗运动。

=== 性质 ===

* 布朗运动的轨道几乎处处不可微：对于任何<math>\scriptstyle \omega\in \Omega</math>,轨道<math>\scriptstyle t\mapsto B_t(\omega)</math>为一个连续但是零可微的函数。
* 协方差<math>\scriptstyle \mathbb E[B_s B_t]=min (s,t)</math>。
* 布朗运动具有[[强马氏性]]： 对于[[停时]]''T'',取条件<math>\scriptstyle [T < \infty ]</math>,过程<math>\scriptstyle (B^T_t)_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_T)_{t\geq 0}</math>为一个独立于<math>\scriptstyle (B_{s})_{0 \leq s<T}</math>的布朗运动。
* 它的[[Fourier变换]]或[[特征函数]]为<math>\scriptstyle \mathbb E\left[ e^{i u B_t} \right] = e^{-\frac{tu^2}{2}} </math>。可见，布朗运动是一个无偏，无跳跃，二项系数为1/2的Levy过程。
* 布朗运动关于时间是齐次的： 对于''s'' > 0, <math>\scriptstyle (B_{t+s}-B_s)_{t\geq 0}</math>是一个独立于<math>\scriptstyle (B_u)_{0\leq u \leq s}</math>的布朗运动。
* -''B''是一个布朗运动。
* （稳定性） 对于''c'' > 0，  <math>\scriptstyle \left(cB_{\frac{t}{c^2}}\right)_{t\geq 0}</math>是布朗运动。 
*（时间可逆性）<math>\scriptstyle \left(tB_{\frac{1}{t}}\right)_{t > 0}</math>在''t''=0之外是布朗运动。
* （[[常返性]]）只有1维和2维布朗运动是常返的：
:       如果<math>\scriptstyle d\in \{1,2\}</math>,集合<math>\scriptstyle\{t\geq 0, B_t=x\}</math>不是有界的，对于任何<math>\scriptstyle  x\in \mathbb R^d </math>，
:       如果<math>\scriptstyle d\geq 3, \,\,\,\lim_{t\rightarrow \infty} ||B_t||=+\infty</math>（几乎处处）。
* （反射原理）
:<math> \mathbb P[\sup_{0\leq s\leq t}B_s \geq a]=2  \mathbb P[B_t \geq a] = \mathbb P[|B_t| \geq a]. </math>

=== 布朗运动的数学构造 ===

==== 利用Kolmogorov一致性定理====
设<math>(f_t)_{t\in{\mathbb{R}}_+}</math>为<math>L^2({\mathbb{R}}_+)</math>空间中一列实值函数。设：

<center><math>\forall(u,v)\in{\mathbb{R}}_+\text{, }s(u,v)={\langle f_u,f_v \rangle}_{L^2({\mathbb{R}}_+)}=\int_{\mathbb{R}_+} f_u(x)f_v(x)dx</math></center>

这列函数满足：<br />

<math>\forall k\in\mathbb{N}^*</math>，任意的<math>t_1, ..., t_k\in\mathbb{R}_+</math>,矩阵<math>\left(s(t_i,t_j)\right)_{1\leq i,j\leq k}</math>为对称半正定的。<br />

利用Kolmogorov一致性定理，我们可以构造高斯过程<math>\{Y_t\}_{t\in\mathbb{R}_+}</math>，它的均值<math>m</math>任意， 协方差为上面定义的<math>s</math>。 

当<math>(f_t)_{t\in{\mathbb{R}}_+}=\left(\sqrt{c}.1\!\!1_{[0,t]} \right)_{t\in\mathbb{R}_+}</math>，<math>c>0</math>为不依赖于t的常数，<math>1\!\!1_{[0,t]}</math>为<math>[0,t]</math>上的示性函数。则：

<center><math>s(u,v)=c\int\limits_{\mathbb{R}}1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds=\text{c.min}(u,v)</math></center>

在这个情况下，矩阵<math>\left(s(t_i,t_j)\right)_{1\leq i,j\leq k}</math>是对称且正定的。 

我们称一个高斯过程为 '''布朗运动'''当且仅当均值为0，协方差为s。<math>c = Var(B_1)</math>，当<math>c = 1</math>时， 称之为 '''标准的布朗运动'''.

==== 利用随机过程 ====

[[Donsker定理]]（1951）证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。
: <math> \left( \frac{1}{\sigma\sqrt{n}} \left(\sum_{k=1}^{[nt]} U_k +(nt - [nt])U_{[nt]+1}  \right) \right)_{0\leq t\leq 1} \underset{n\rightarrow \infty}{\Longrightarrow} (B_t)_{0\leq t\leq 1} </math>
其中（''U''<sub>''n''</sub>, ''n'' ≥ 1） 独立同分布， 均值为0,方差为''σ''的随机变量序列。 

==== 利用傅立叶级数 ====

设2列独立的正态<math>\scriptstyle \mathcal N(0,1)</math>随机变量序列<math>\scriptstyle (N_k,k\in \mathbb N)</math>和<math>\scriptstyle (N'_k,k\in \mathbb N)</math>。定义<math>\scriptstyle (B_t)_{t\geq0}</math>：
: <math> B_t := t N_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{2}}{2\pi k} \left(N_k \cos(2\pi kt -1)+N_k'\sin(2\pi kt)\right) </math>
为布朗运动。

== 参见 ==
* [[维纳过程]]

== 腳註 ==
{{reflist}}

== 外部連結 ==
* [http://psroc.phys.ntu.edu.tw/bimonth/download.php?d=1&cpid=148&did=2 漫談布朗運動]
https://www.sciencedirect.com/topics/pharmacology-toxicology-and-pharmaceutical-science/brownian-motion
{{分形}}

{{Authority control}}
[[Category:随机过程|B]]
[[Category:统计力学|B]]
[[Category:阿尔伯特·爱因斯坦|B]]