查看“布洛赫波”的源代码

{{NoteTA
|1=zh-cn:势场; zh-tw:位能場;
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[[File:BlochWave in Silicon.png|thumb|300px|right|[[硅]][[晶格]]中的布洛赫波]]
在[[固体物理学]]中，'''布洛赫波'''（{{lang|en|'''Bloch wave'''}}）是周期性势场（如[[晶体]]）中粒子（一般为[[电子]]）的[[波函数]]，又名'''布洛赫态'''（{{lang|en|'''Bloch state'''}}）。

布洛赫波因其提出者[[美国|美]]籍[[瑞士]]裔物理学家[[菲利克斯·布洛赫]]而得名。

布洛赫波由一个[[平面波]]和一个周期函数 <math>u(\boldsymbol{r})</math> （布洛赫波包）相乘得到。其中 <math>u(\boldsymbol{r})</math> 与势场具有相同周期性。布洛赫波的具体形式为：

: <math>\psi (\boldsymbol{r})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}u (\boldsymbol{r}).</math> 

式中'''''k''''' 为[[波向量]]。上式表达的波函数称为'''布洛赫函数'''。<u>当势场具有晶格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程的解''ψ''存在性质</u>：
: <math>\psi (\boldsymbol{r} + \boldsymbol{R_n} ) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R_n}} \psi (\boldsymbol{r})</math> 

这一结论称为'''布洛赫定理'''（{{lang|en|'''Bloch's theorem'''}}），其中 <math>\boldsymbol{R_n}</math> 为晶格周期[[向量]]。可以看出，具有上式性质的波函数可以写成布洛赫函数的形式。

平面波波向量 <math>\boldsymbol{k}</math> （又称“布洛赫波向量”，它与约化[[普朗克常数]]的乘积即为粒子的'''晶体动量'''）表征不同[[原胞]]间电子波函数的[[位相]]变化，其大小只在一个[[倒易点阵]]向量之内才与波函数满足一一对应关系，所以通常只考虑[[布里渊区|第一布里渊区]]内的波向量，即所谓“简约波向量”。对一个给定的波矢和势场分布，电子运动的[[薛定谔方程]]具有一系列解，称为电子的'''能带'''，常用波函数的下标''n'' 以区别。这些能带的[[能量]]在 <math>\boldsymbol{k}</math> 的各个单值区分界处存在有限大小的空隙，称为[[能隙]]。在[[布里渊区|第一布里渊区]]中所有能量[[本征态]]的集合构成了电子的[[能带结构]]。在[[单电子近似]]的框架内，周期性势场中电子运动的宏观性质都可以根据能带结构及相应的波函数计算出。

上述结果的一个推论为：在确定的完整晶体结构中，布洛赫波向量 <math>\boldsymbol{k}</math> 是一个守恒量（以倒易点阵向量为[[模长|模]]），即电子波的[[群速度]]为守恒量。换言之，在完整晶体中，电子运动可以不被格点[[散射]]地传播（所以该模型又称为'''近自由电子近似'''），晶态导体的[[电阻]]仅仅来自那些破坏了势场周期性的晶体缺陷以及电子与声子的相互作用。

从薛定谔方程出发可以证明，[[哈密顿算符]]与[[平移算符]]的作用次序满足交换律，所以周期势场中粒子的本征波函数总是可以写成布洛赫函数的形式。更广义地说，本征函数满足的算符作用对称关系是[[群论]]中[[表示 (群)|表示理论]]的一个特例。  

布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体的导电性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由[[乔治·威廉·希尔]]（1877年），{{le|加斯东·弗洛凯|Gaston Floquet}}（1883年）和[[亚历山大·李雅普诺夫]]（1892年）等独立地提出。因此，类似性质的概念在各个领域有着不同的名称：[[常微分方程]]理论中称为[[弗洛凯理论]]（也有人称“李雅普诺夫-弗洛凯定理”）；一维周期性[[波动方程]]则有时被称为[[希尔微分方程|希尔方程]]。

==参见==
*[[K·p微扰论]]
* {{le|轨道磁化|Orbital magnetization}}
* {{le|Hannay角|Hannay angle}}
* {{le|几何相位|Geometric phase}}

==参考资料==
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* [[黄昆]]原著，韩汝琦改编，《固体物理学》，高等教育出版社，北京，1988，ISBN 7-04-001025-9
* {{lang|en|Charles Kittel, ''Introduction to Solid State Physics'' (Wiley: New York, 1996).}}
* {{lang|en|Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, ''Solid State Physics'' (Harcourt: Orlando, 1976).}}
* {{lang|en|Felix Bloch, "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern," ''Z. Physik'' '''52''', 555-600 (1928).}}
* {{lang|en|George William Hill, "On the part of the motion of the lunar perigee which is a function of the mean motions of the sun and moon," ''Acta. Math.'' '''8''', 1-36 (1886).}}（本文初版于1877年，后曾被私下传阅）。
* {{lang|en|Gaston Floquet, "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques," ''Ann. École Norm. Sup.'' '''12''', 47-88 (1883).}}
* {{lang|en|Alexander Mikhailovich Lyapunov, ''The General Problem of the Stability of Motion'' (London: Taylor and Francis, 1992).}}（李雅普洛夫的博士论文，1892年完稿，稳定性理论的奠基之作）
</div>

{{-}}
{{固体物理学}}

{{DEFAULTSORT:B}}
[[Category:固体物理学]]
[[Category:凝聚体物理学]]