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'''布里渊函数和郎之万函数（Brillouin and Langevin functions）'''是理想[[顺磁性]]材料研究中的一对[[特殊函数]]。

==布里渊函数==
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布里渊函数<ref name=Kittel>C. Kittel, ''Introduction to Solid State Physics'' (8th ed.), pages 303-4 ISBN 978-0-471-41526-8</ref><ref>{{Cite journal
  | last = Darby
  | first = M.I. 
  | author-link =
  | title = Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization
  | journal = Brit. J. Appl. Phys.
  | volume = 18
  | issue = 10
  | pages = 1415–1417
  | year = 1967
  | doi =10.1088/0508-3443/18/10/307
  | postscript = <!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->  |bibcode = 1967BJAP...18.1415D }}</ref>形式为：

:<math>B_J(x) = \frac{2J + 1}{2J} \coth \left ( \frac{2J + 1}{2J} x \right )
                - \frac{1}{2J} \coth \left ( \frac{1}{2J} x \right )</math>
其中，<math>x</math> 为实数，<math>J</math> 为正整数或半整数，函数的值域为从-1（<math>x \to -\infty</math>）到1（<math>x \to +\infty</math>）。

布里渊函数是计算理想顺磁体的[[磁化强度]]时引入的。它描述了磁化强度<math>M</math> 与外加 [[磁场]] <math>B</math> 、材料微观[[磁矩]]的 [[总角动量量子数]] J之间的关系。磁化强度由下式给出：<ref name=Kittel/>
:<math>M = N g \mu_B J \cdot B_J(x)</math>

其中，<math>N</math> 单位体积内原子的数目，<math>g</math> 为{{link-en|g因數|g-factor (physics)}}，<math>\mu_B</math>为[[玻尔磁子]]，<math>x</math> 为外场中磁矩的{{link-en|塞曼能|Zeeman energy}}与无规热能 <math>k_B T</math>之比：
::<math>x = \frac{g \mu_B J B}{k_B T}</math>
其中，<math>k_B</math> 为 [[波尔兹曼常数]]， <math>T</math> 为绝对温度。

==郎之万函数==
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[[File:Langevin function.png|300px|thumb|right|郎之万函数 (红线) 与
<math>\tanh(x/3)</math> (蓝线)。]]

在经典极限，磁矩可以连续地沿外场取向，<math>J \to \infty</math>，布里渊函数可以化简为郎之万函数，形式为：

:<math>L(x) = \coth(x) - \frac{1}{x}</math>

在[[高分子物理学]]中，受外力拉伸的理想高分子链的平均末端距也用郎之万方程描述：<ref>{{cite book|author=Michael Rubinstein and Ralph H. Colby|title=Polymer Physics|year=2003|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-852059-7|pages=76}}</ref> 
:<math><R> = bN \left ( \coth(fb/k_BT) - \frac{1}{fb/k_BT} \right )</math>
其中，<math>b</math>为 {{link-en|库恩长度|Kuhn length}}，<math>N</math>为高分子链长，<math>f</math>为施加在链末端的外力。

当{{math|''x''}}为小量时，郎之万函数可由其截断的[[泰勒级数]]近似：
:<math>
   L(x) = \tfrac{1}{3} x - \tfrac{1}{45} x^3 + \tfrac{2}{945} x^5 - \tfrac{1}{4725} x^7 + \dots
 </math>
郎之万函数还可以由以下连分式近似：
:<math>
L(x) = \frac{x}{3+\tfrac{x^2}{5+\tfrac{x^2}{7+\tfrac{x^2}{9+\ldots}}}}
</math>

郎之万函数的逆函数可由下式近似：<ref name="Cohen">{{cite journal |title=A Padé approximant to the inverse Langevin function |last=Cohen |first=A. |journal=[[Rheologica Acta]] |volume=30 |issue=3 |pages=270–273 |year=1991 |doi=10.1007/BF00366640 }}</ref>
:<math>
   L^{-1}(x) \approx x \frac{3-x^2}{1-x^2},
 </math>
其中，x的取值范围为(-1, 1)。

当x比较小时，一个更好的近似为：
:<math>
   L^{-1}(x) = 3x \frac{35-12x^2}{35-33x^2} + O(x^7)
 </math>

郎之万逆函数的[[泰勒级数]]为：<ref name="Johal">{{cite journal |title=Energy functions for rubber from microscopic potentials |last=Johal |first=A. S. |last2=Dunstan |first2=D. J. |journal=[[Journal of Applied Physics]] |volume=101 |issue=8 |page=084917 |year=2007 |doi=10.1063/1.2723870 |bibcode = 2007JAP...101h4917J }}</ref>
:<math>
   L^{-1}(x) = 3 x + \tfrac{9}{5} x^3 + \tfrac{297}{175} x^5 + \tfrac{1539}{875} x^7 + \dots
 </math>

==高温极限==
当 <math>x \ll 1</math> 时，即<math>\mu_B B / k_B T</math> 很小，磁矩可以由[[居里定律]]近似： 

:<math>M = C \cdot \frac{B}{T}</math>

其中 <math>C = \frac{N g^2 J(J+1) \mu_B^2}{3k_B}</math> 为常数， <math>g\sqrt{J(J+1)}</math> 为有效波尔磁子数目。

==强场极限==
当 <math>x\to\infty</math>，布里渊函数的值趋于 1，材料的磁化强度饱和，磁矩的取向完全沿外场方向，于是有

:<math>M = N g \mu_B J</math>

==参考文献==
{{Reflist}}

[[Category:磁学]]