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'''希尔伯特零点定理'''（Hilbert's Nullstellensatz）确立了[[几何]]和[[代数]]之间的基本关系。数学中一大重要分支——[[代数几何]]——正是建立在这一关联的基础之上的。零点定理联系了[[代数簇|代数集]]与（[[代数闭域]]上的）[[多项式环]]中的[[理想_(环论)|理想]]。[[大卫·希尔伯特]]最早发现了这一关联，并证明了零点定理及其它相关的重要定理（如[[希尔伯特基定理]]）。

== 定理陈述 ==
设''k'' 为[[域]]（如[[有理数]]域），''K'' 为''k'' 的代数封闭扩张（如[[复数]]域）。考虑[[多项式环]]''k''[''X''<sub>1</sub>,''X''<sub>2</sub>,..., ''X''<sub>''n''</sub>]，设''I'' 为此环的一个[[理想_(环论)|理想]]。该理想定义了[[代数簇|代数集]]V(''I'' )：其元素为''K''<sup>''n''</sup> 中的''n''-元组 '''x''' = (''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub>)，使得对于''I'' 中所有的''f'' 满足''f'' ('''x''') = 0。希尔伯特零点定理声明：如果''p'' 为''k''[''X''<sub>1</sub>,''X''<sub>2</sub>,..., ''X''<sub>''n''</sub>] 中的多项式，并且在V(''I'' )恒为零，即对于所有V(''I'' )中的 '''x''' 有''p''('''x''') = 0，那么存在一个[[自然数]]''r'' 使得''p''<sup>''r''</sup> 属于''I''。

零点定理的一个直接推论是“弱零点定理”：''k''[''X''<sub>1</sub>,''X''<sub>2</sub>,..., ''X''<sub>''n''</sub>]的理想''I'' 包含单位元 1 当且仅当''I'' 中的多项式在''K''<sup>''n''</sup> 中没有公共零点。弱零点定理也可如下表述：如果''I'' 是 ''k''[''X''<sub>1</sub>,''X''<sub>2</sub>,..., ''X''<sub>''n''</sub>]的真理想，那么V(''I'' )不是[[空集]]，即在''k'' 的任意代数封闭扩张中都存在一个满足理想中所有多项式的公共零点。这就是零点定理名称的由来，同时零点定理也可以通过[[拉比诺维奇技法]]从“弱”版轻松证得。在这里，考虑公共零点时代数闭域的假设是必要的：例如，'''R'''[''X'' ] 中的真理想(''X'' <sup>2</sup> + 1) 在 '''R''' 中就没有公共零点。用代数几何中常用的记法，零点定理可以写作
:<math>\hbox{I}(\hbox{V}(J))=\sqrt{J}</math>
对于所有理想''J'' 成立。这里，<math>\sqrt{J}</math> 代表''J'' 的[[理想的根|根]]，而I(''U'' ) 代表由在集合''U'' 上恒为零的所有多项式组成的理想。

这样，我们得到了一个在''K''<sup>''n''</sup> 中的代数集与''K''[''X''<sub>1</sub>,''X''<sub>2</sub>,..., ''X''<sub>''n''</sub>]中[[理想的根|根理想]]之间的反序[[一一映射]]。实际上，更一般地，我们有在空间的子集的集合与代数的子集的集合之间的[[伽罗瓦连接]]，其中“[[扎里斯基拓扑|扎里斯基闭包]]”与“理想的根”充当[[闭包算子]]的角色。

作为例子，考虑一点<math>P = (a_1, \dots, a_n) \in K^n</math>。那么<math>I(P) = (X_1 - a_1, \dots, X_n - a_n)</math>。更一般地，
:<math>\sqrt{I} = \bigcap_{(a_1, \dots, a_n) \in V(I)}  (X_1 - a_1, \dots, X_n - a_n).</math>
相反地，多项式环<math>K[X_1,\dots,X_n]</math> 中每个[[极大理想]]（注意<math>K</math>是代数封闭的）都具有如下形式：<math>(X_1 - a_1, \dots, X_n - a_n)</math>，对于某些<math>a_1,\dots,a_n \in K</math>。

再如，''K''<sup>''n''</sup> 中的代数集''W'' 是不可约集（关于扎里斯基拓扑）当且仅当<math>I(W)</math>为素理想。

== 证明与推广 ==

== 有效零点定理 ==

== 射影零点定理 ==

== 注 ==
{{reflist}}

==参考==
*[[Michael Atiyah|M. Atiyah]], [[Ian G. Macdonald|I.G. Macdonald]], ''Introduction to Commutative Algebra'', [[Addison–Wesley]], 1994. ISBN 0-201-40751-5
* {{cite book | author=Shigeru Mukai | authorlink=Shigeru Mukai |others=William Oxbury (trans.) | title=An Introduction to Invariants and Moduli | series=Cambridge studies in advanced mathematics | volume=81 | year=2003 | isbn=0-521-80906-1 | page=82 }}
* [[David Eisenbud]], ''Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry'', New York : Springer-Verlag, 1999.
*{{Hartshorne AG}}

[[Category:多项式]]
[[Category:代数几何]]