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在[[数学]]中，一个'''希尔伯特-施密特算子'''({{lang-en|Hilbert–Schmidt operator}})（得名于[[大卫·希尔伯特]]和{{link-en|埃哈德·施密特|Erhard Schmidt}}）, 是[[希尔伯特空间]]''H''上的[[有界算子]]<span>''A''，有有限的'''希尔伯特-施密特范数'''</span>
: <math>\|A\|^2_{HS}={\rm Tr} (A^{*}A) := \sum_{i \in I} \|Ae_i\|^2 </math>，
其中<math>\|\ \|</math>是''H''上的范数，<math>\{e_i : i\in I\} </math>是''H''上的一组[[标准正交基]]，''Tr''是非负自伴算子的[[迹]]。<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Hilbert-SchmidtOperator.html|title=Hilbert–Schmidt Operator (From MathWorld)|last=Moslehian|first=M.S.}}</ref><ref>{{eom|first=M.I.|last=Voitsekhovskii|id=H/h047350}}</ref>这里指标集不一定可数。这个定义不依赖于基底的选择，所以有
: <math>\|A\|^2_{HS}=\sum_{i,j} |A_{i,j}|^2 = \|A\|^2_2</math>，
其中<math>A_{i,j}=\langle e_i, Ae_j \rangle</math>，<math>\|A\|_2</math>为<math>A</math>在''p'' = 2时的{{link-en|Schatten范数|Schatten norm}}。在[[欧几里得空间]]中，<math>\|\ \|_{HS}</math>也被称为[[弗罗贝尼乌斯范数]]，得名于费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。

两个希尔伯特-施密特算子的乘积有有限的[[迹类范数]]；因此，如果''A''和''B''是两个希尔伯特-施密特算子，'''希尔伯特-施密特内积'''可以如下定义
: <math>\langle A,B \rangle_\mathrm{HS} = \operatorname{Tr} (A^*B)
= \sum_{i} \langle Ae_i, Be_i \rangle</math>。
希尔伯特-施密特算子构成一个H上的有界[[算子]]的{{link-en|Banach代数|Banach algebra}}的双边*理想。它们构成一个希尔伯特空间，可以证明[[自然變換|自然]]等距同构到{{link-en|希尔伯特空间的张量积|Tensor product of Hilbert spaces}}
: <math>H^* \otimes H</math>，
其中''H''<sup>∗</sup>''是H''的[[对偶空间]]。

希尔伯特-施密特算子的集合在[[算子范数|范数拓扑]]下是闭集，当且仅当''H''是有限维空间。

一类重要的例子是{{link-en|希尔伯特-施密特积分算子|Hilbert–Schmidt integral operator}}。

希尔伯特-施密特算子是二阶{{link-en|核型算子|Nuclear operator}}，因此是紧的。

== 另请参阅 ==
* {{link-en|弗羅貝尼烏斯內積|Frobenius inner product}}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
{{泛函分析}}
[[Category:算子理论]]