查看“希爾微分方程”的源代码

{{expert|time=2016-12-10T08:22:04+00:00}}
'''希爾微分方程'''或是'''希爾方程'''是指以下的二階[[常微分方程]]
:<math> \frac{d^2y}{dt^2} + f(t) y = 0, </math>
其中''f(t)''為[[週期函數]]<ref>{{cite book|last=Magnus|first=W.|last2=Winkler|first2=S.|title=Hill's equation|year=2013|publisher=Courier|isbn=9780486150291}}</ref>

希爾微分方程得名自1886年發現此方程的[[天文學家]][[喬治·希爾_(天文學家)|喬治·希爾]]<ref>{{cite journal|doi=10.1007/BF02417081|first=G.W.|last=Hill|title=On the Part of the Motion of Lunar Perigee Which is a Function of the Mean Motions of the Sun and Moon|journal=Acta Math.|volume=8|issue=1|pages=1–36|year=1886}}</ref>

一般會假設''f''(''t'')的週期為''π''，則希爾方程可以改寫為''f''(''t'')的傅里叶级数：

:<math>\frac{d^2y}{dt^2}+\left(\theta_0+2\sum_{n=1}^\infty \theta_n \cos(2nt)+\sum_{m=1}^\infty \phi_m \sin(2mt) \right ) y=0. </math>

希爾方程中特殊的例子有[[马丢函数|马丢方程]]（只對應''n''&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1的情形）以及{{le|Meissner方程|Meissner equation}}。

在研究週期微分方程時，希爾微分方程是重要的範例。依照''f''(''t'')的不同，其解可能一直是有界的，也有可能其振盪的振幅會指數成長<ref>{{cite book
 | last = Teschl
 | given = Gerald
 | title = Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems
 | publisher=American Mathematical Society
 | place = Providence
 | year = 2012
 | isbn= 978-0-8218-8328-0
 | url = http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/}}</ref>。Hill微分方程的準確解可以由[[弗洛凱理論]]描述。其解也可以用Hill行列式表示。

希爾微分方程最早是應用在月球穩定性的研究，不過後來也用在許多其他的領域，包括{{le|四極桿質量分析器|quadrupole mass spectrometer}}的建模，像是晶體中電子的一維[[薛定谔方程]]等。

==參考資料==
{{Reflist}}
<!---
* [[Heinrich Guggenheimer]] (1977) ''Applicable Geometry'', pages 73&ndash;98, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
-->

==外部連結==
* {{springer|title=Hill equation|id=p/h047440}}
* {{mathworld|urlname=HillsDifferentialEquation|title=Hill's Differential Equation}}
*{{dlmf|first=G.|last=Wolf|id=28.29|title=Mathieu Functions and Hill’s Equation}}

[[Category:微分方程]]

{{數學小作品}}