查看“帕斯卡矩阵”的源代码

'''帕斯卡矩阵'''是以[[组合数]]为元素的矩阵。
 
{|class="wikitable"
!|5阶帕斯卡上[[三角矩阵]]（<math>L_5</math>）
!| 5阶帕斯卡下三角矩阵（<math>U_5</math>）
!| 5阶帕斯卡[[对称矩阵]]（<math>S_5</math>）
|-
|
<math>
\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\0 & 0 & 1 & 3 & 6 \\0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math>
|
<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\1 & 3 & 3 & 1 & 0 \\1 & 4 & 6 & 4 & 1\end{pmatrix}</math>
|
<math>\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\1 & 3 & 6 & 10 & 15 \\1 & 4 & 10 & 20 & 35 \\1 & 5 & 15 & 35 & 70\end{pmatrix}</math>
|} 

其中<math>S_n=L_n U_n</math>

==性质==
帕斯卡对称矩阵<math>S_n</math>的元素为：
:<math>S_{ij} = \binom {i+j-2}{i-1}</math>

<math>S_n</math>的[[迹]]为：
:<math>tr(S_n) = \sum^n_{i=1} \frac{ [ 2(i-1) ] !}{[(i-1)!]^2} = \sum^{n-1}_{k=0} \frac{ (2k) !}{(k!)^2}</math> （[[OEIS:A006134]]）

帕斯卡下三角矩阵<math>L_6</math>的[[逆矩阵|逆]]为：<ref name="BP">{{cite web|title=Binomial/Pascalmatrix P|url=http://go.helms-net.de/math/binomial_new/01_1_binomialmatrix.pdf}}</ref>
:<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0\\1 & 4 & 6 & 4 & 1 & 0\\1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0\\-1 & 3 & -3 & 1 & 0 & 0\\1 & -4 & 6 & -4 & 1 & 0\\-1 & 5 & -10 & 10 & -5 & 1\end{pmatrix}</math>

帕斯卡矩阵可从[[对角线|超对角矩阵]]的[[矩阵指数|指数]]构造出来：<ref name="BP"/>

:<math>
\begin{array}{lll}
& L_7=\exp
\left (
\left [
\begin{smallmatrix}
. & . & . & . & . & . & . \\
1 & . & . & . & . & . & . \\
. & 2 & . & . & . & . & . \\
. & . & 3 & . & . & . & . \\
. & . & . & 4 & . & . & . \\
. & . & . & . & 5 & . & . \\
. & . & . & . & . & 6 & .
\end{smallmatrix}
\right ]
\right )
=
\left [
\begin{smallmatrix}
1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\
1   & 1   & .   & .   & .   & .   & .   \\
1   & 2   & 1   & .   & .   & .   & .   \\
1   & 3   & 3   & 1   & .   & .   & .   \\
1   & 4   & 6   & 4   & 1   & .   & .   \\
1   & 5   & 10  & 10  & 5   & 1   & .   \\
1   & 6   & 15  & 20  & 15  & 6   & 1  
\end{smallmatrix}
\right ]
;\quad
\\
\\
& U_7=\exp
\left (
\left [
\begin{smallmatrix}
. & 1 & . & . & . & . & . \\
. & . & 2 & . & . & . & . \\
. & . & . & 3 & . & . & . \\
. & . & . & . & 4 & . & . \\
. & . & . & . & . & 5 & . \\
. & . & . & . & . & . & 6 \\
. & . & . & . & . & . & . 
\end{smallmatrix}
\right ]
\right )
=
\left [
\begin{smallmatrix}
1   & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   \\
.   & 1   & 2   & 3   & 4   & 5   & 6   \\
.   & .   & 1   & 3   & 6   & 10  & 15  \\
.   & .   & .   & 1   & 4   & 10  & 20  \\
.   & .   & .   & .   & 1   & 5   & 15  \\
.   & .   & .   & .   & .   & 1   & 6   \\
.   & .   & .   & .   & .   & .   & 1  
\end{smallmatrix}
\right ]
;
\\
\\

& S_7
=\exp
\left (
\left [
\begin{smallmatrix}
. & . & . & . & . & . & . \\
1 & . & . & . & . & . & . \\
. & 2 & . & . & . & . & . \\
. & . & 3 & . & . & . & . \\
. & . & . & 4 & . & . & . \\
. & . & . & . & 5 & . & . \\
. & . & . & . & . & 6 & .

\end{smallmatrix}
\right ]
\right )
\exp
\left (
\left [
\begin{smallmatrix}
. & 1 & . & . & . & . & . \\
. & . & 2 & . & . & . & . \\
. & . & . & 3 & . & . & . \\
. & . & . & . & 4 & . & . \\
. & . & . & . & . & 5 & . \\
. & . & . & . & . & . & 6 \\
. & . & . & . & . & . & . 
\end{smallmatrix}
\right ]
\right )
=
\left [
\begin{smallmatrix}
1   & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   \\
1   & 2   & 3   & 4   & 5   & 6   & 7   \\
1   & 3   & 6   & 10  & 15  & 21  & 28  \\
1   & 4   & 10  & 20  & 35  & 56  & 84  \\
1   & 5   & 15  & 35  & 70  & 126 & 210 \\
1   & 6   & 21  & 56  & 126 & 252 & 462 \\
1   & 7   & 28  & 84  & 210 & 462 & 924
\end{smallmatrix}
\right ].
\end{array}
</math>

映射出正负相间的[[伯努利数]]：<ref>{{cite web|title=Accessing Bernouli-Numbers by Matrix-Operations|url=http://go.helms-net.de/math/binomial/bernoulli_en.pdf}}</ref>
:<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0\\1 & 2 & 1 & 0\\1 & 3 & 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\-1/2\\1/6\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\1/2\\1/6\\0\end{pmatrix}</math>

==应用==
利用帕斯卡矩阵的逆求解[[线性方程]]与[[等幂求和]]问题，例如：

:<math> \sum_{i=1}^{n} i^{3} = \begin{pmatrix} C^n_1 & C^n_2 & C^n_3 & C^n_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1^3 \\ 2^3 \\ 3^3 \\ 4^3 \end{pmatrix}= C^n_1+7C^n_2+12C^n_3+6C^n_4 </math>

==参见==
*[[杨辉三角形]]
*[[LU分解]]

==参考资料==
{{reflist}}

[[分类:矩阵]]
[[分类:组合数学]]