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[[File:Pappus area theorem proof2.svg|thumb|暗灰色面積等於淺灰色面積。]] '''帕普斯面積定理'''({{lang-en|Pappus's area theorem}})描述為連接任意[[三角形]]三邊形成三個[[平行四邊形]]區域之間的關係。該定理也可以被認為是[[畢氏定理]]的推廣,以發現者[[希臘]][[數學家]][[帕普斯]]命名。 == 定理 == 給定任意三角形,其兩個任意[[平行四邊形]]連接到其任意兩側,該定理描述在第三側產生平行四邊形,使得第三個平行四邊形的面積等於其他兩個平行四邊形的面積之和。 設<math>\Delta ABC\,</math>為任意三角形,''ABDE''與''ACFG''是連接到三角形邊AB與AC的兩個任意平行四邊形。延長的平行四邊形邊DE與FG在H點處相交。線段AH現在「變成」連接到三角形邊BC的第三平行四邊形''BCLM''的邊,即在BC上產生線段BL與CM,使得BL與CM互相平行並且其長度等於AH。以下<math>A</math>表示為平行四邊形的面積: :<math>A_{ABDE}+A_{ACFG}=A_{BCLM}</math> 該定理將畢氏定理歸納為雙重推論。首先它適用於任意三角形,而不僅適用於[[直角三角形]],其次它使用平行四邊形而非[[正方形]]。對於任意三角形兩側的正方形,在第三側產生相等面積的平行四邊形,如果兩側為平行四邊形直角的[[直角邊]],則第三側([[斜邊]])的平行四邊形也是正方形。對於直角三角形,連接到直角腿的兩個平行四邊形在第三側產生相等面積的[[矩形]],並且如果兩個平行四邊形是正方形,那麼第三側上的矩形也將是正方形。 == 證明 == 由於具有相同的基本長度與高度,平行四邊形''ABDE''與''ABUH''具有相同的面積,相同的參數適用於平行四邊形''ACFG''與''ACVH''、''ABUH''與''BLQR''、''ACVH''與''RCMQ''。 這已經產生了預期的結果,如下: :<math> \begin{align} A_{ABDE}+A_{ACFG}\,{} &=A_{ABUH}+A_{ACVH}\\ &=A_{BLRQ}+A_{RCMQ}\\ &=A_{BCLM} \end{align} </math> == 參考資料 == *Howard Eves: ''Pappus's Extension of the Pythagorean Theorem''.The Mathematics Teacher, Vol. 51, No. 7 (November 1958), pp.544–546 ([https://www.jstor.org/stable/27955752 JSTOR]) *Howard Eves: ''Great Moments in Mathematics (before 1650)''. Mathematical Association of America, 1983, {{ISBN|9780883853108}}, p.37 ({{Google books|9_w5jDPTvCQC|excerpt|page=37}}) *[[Eli Maor]]: ''The Pythagorean Theorem: A 4,000-year History''. Princeton University Press, 2007, {{ISBN|9780691125268}}, pp.58–59 ({{Google books|Z5VoBGy3AoAC|excerpt|page=58}}) *Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics''. MAA, 2010, {{ISBN|9780883853481}}, pp.77–78 ({{Google books|mIT5-BN_L0oC|excerpt|page=77}}) == 外部連結 == *[http://math.ucr.edu/~res/math153/history05f.pdf ''The Pappus Area Theorem''] *[http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Pappus.html '' Pappus theorem''] {{Commons category|Pappus's area theorem}} [[Category:面積]] [[Category:方程]] [[Category:平面幾何]] [[Category:三角形幾何]]
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