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{{无穷级数}}
[[File:Exp series.gif|thumb|蓝色曲线是[[指数函数]]，红色曲线是指数函数的[[麦克劳林级数|麦克劳林展开]]的前''n''+1项和的曲线]]
在[[数学]]中，'''幂级数（power series）'''是一类形式简单而应用广泛的[[级数#函数项级数|函数级数]]，变量可以是一个或多个（见“[[#多元幂级数|多元幂级数]]”一节）。单变量的幂级数形式为：
:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n </math>
:<math> = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots</math>
其中的''c''和<math>a_0 ,a_1 ,a_2 \cdots a_n \cdots</math>是[[常数]]。<math>a_0 ,a_1 ,a_2 \cdots a_n \cdots</math>称为幂级数的系数。幂级数中的每一项都是一个[[幂函数]]，幂次为非负整数。幂级数的形式很像[[多项式]]，在很多方面有类似的性质，可以被看成是“无穷次的多项式”。

如果把<math>(x-c)</math>看成一项，那么幂级数可以化简为<math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n </math>的形式。后者被称为幂级数的标准形式。一个标准形式的幂级数完全由它的系数来决定。

将一个[[函数]]写成幂级数<math>\sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n</math>的形式称为将函数在''c''处展开成幂级数。不是每个函数都可以展开成幂级数。

幂级数是分析学研究的重点之一，然而在[[组合数学]]中，幂级数也占有一席之地。作为[[母函数]]，由幂级数概念发展出来的[[形式幂级数]]是许多[[组合恒等式]]的来源<ref>史济怀，组合恒等式，中国科学技术大学出版社，2001</ref>。在电力工程学中，幂级数则被称为[[Z-变换]]。[[实数]]的小数记法也可以被看做幂级数的一种，只不过这里的''x''被固定为<math>\frac{1}{10}</math>。在[[p-进数]]中则可以见到''x''被固定为<math>10</math>的幂级数。

==例子==

[[多项式]]可以看做系数从某一项开始全是零的幂级数，例如多项式<math>f(x) = x^2 + 2x + 3</math>可以写成标准形式的幂级数：
::<math>f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots </math>
也可以写成（<math>c=1</math>）：
::<math>f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots </math>
实际上，多项式可以写成在任意''c''附近展开的幂级数。就这个意义上说，幂级数是多项式的推广。

[[等比数列|等比级数]]的公式给出了对<math>|x|<1</math>，有
::<math> \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots</math>，是幂级数中基本而又重要的一类。同样重要的还有指数的幂级数展开：
::<math> e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,</math>
以及[[三角函数|正弦函数]]（对所有实数x成立）：
::<math> \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,</math>

这些幂级数都属于[[泰勒级数]]。

幂级数里不包括负的幂次。例如<math>1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots</math>就不是幂级数（它是一个[[洛朗级数]]）。同样的，幂次为[[分数]]的级数也不是幂级数。系数<math>a_n</math>必须是和''x''无关，比如<math>\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,</math>就不是一个幂级数。

==敛散性==
作为[[级数]]的一种，幂级数的敛散性也是研究幂级数的重点之一。对同一个幂级数，当变量''x''在[[复数]]中变化时，幂级数可能收敛，也可能发散。作为判断的依据，有：
:'''阿贝尔引理'''：给定一个幂级数<math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n </math>，如果对实数<math>r_0>0</math>，数列<math>( |a_n| r_0^n)_{n \ge 0}</math> [[有界]]，那么对任意复数<math>|x| < r_0</math>，<math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n </math>绝对收敛。

<div style="margin-left:20px; margin-top:10px;padding-left:16px;padding-bottom:8px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#E8FFC4;width:90%;">
<div style="font-size:108%;">'''证明'''：
</div>
<div style="margin-left:6px;margin-top:6px;font-size:85%;">
如果<math>|x| <r_0</math>，那么由于数列<math>( |a_n| r_0^n)_{n \ge 0}</math> [[有界]]，存在正实数''M''使得对任意的''n''，总有<math>0 \le |a_n| r_0^n \le M</math>。所以：
:<math> \sum_{n=0}^\infty |a_n\, x^n| = \sum_{n=1}^\infty \left(|a_n|\, r_0^n\right)\cdot \left(\frac{|x|}{r_0}\right)^n</math>
:<math>\ \  \le \sum_{n=0}^\infty M \cdot \left(\frac{|x|}{r_0}\right)^n</math>
:<math>\ \ = M \cdot \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{|x|}{r_0}\right)^n</math>

正数比值<math>\frac{|x|}{r_0}</math>严格小于1，因此上面的[[等比数列|等比级数]]收敛，于是<math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n </math>绝对收敛。
</div>
</div>

按照引理，使得幂级数<math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n </math>收敛的复数的集合总是某个以原点为中心的[[圆]]（不包括边界），称为'''收敛圆盘'''，其边界称为'''收敛圆'''。具体来说，就是：
#要么对所有的非零复数，<math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n </math>都发散；
#要么存在一个正常数（包括正无穷）<math>R</math>，使得当<math>|x| < R</math>时，<math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n </math>[[绝对收敛]]，当<math>|x| > R</math>时，<math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n </math>发散。

这个可以用来辨别幂级数是否收敛的常数<math>R</math>被称为幂级数的'''[[收敛半径]]'''，当属于第一种情况时，规定收敛半径为零。

按照定义，对一个幂级数<math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n </math>，当<math>|x| <R </math>（在收敛圆盘内）时（如果有的话），幂级数必然收敛；而当<math>|x| > R</math>时（如果有的话），幂级数必然发散。但是如果<math>|x| = R</math>（在收敛圆上）的话，这时幂级数的敛散性是无从判断的，只能具体分析。

根据[[达朗贝尔判别法|达朗贝尔审敛法]]，[[收敛半径]]<math>R</math>满足：如果幂级数<math>\sum a_n x^n</math>满足<math>\lim_{n \to \infty} |{a_{n+1} \over a_n}| = \rho</math>，则：
:{|border="0"
|-
| <math> \rho</math>是正实数时，<math>R = {1 \over \rho}</math>。
|-
| <math> \rho = 0</math>时，<math>R = \infty</math>。
|-
|<math> \rho = \infty</math>时，<math>R = 0</math>。
|}

根据[[根值审敛法]]，则有[[柯西-阿达马公式]]：
:<math>R=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}</math>
:或者<math>\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}</math>。

==幂级数的运算==
形式上，幂级数的加减法运算是将相应系数进行加减。

:<math>(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots) \pm (b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n+\cdots)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\cdots+(a_n+b_n)x^n+\cdots</math>

两个幂级数的乘积基于所谓的[[柯西乘积]]：
:<math> \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)</math>
:<math> = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty  a_i b_j (x-c)^{i+j}</math>
:<math> = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n</math>。

各种运算后，得到的幂级数的收敛半径是两个幂级数中的较小者。

==一致收敛性==
对一个收敛半径为''R''的幂级数<math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math>，可以证明，幂级数在收敛圆盘上[[一致收敛]]。这个性质称为'''内闭一致收敛'''。因此，考虑幂级数函数
: <math>f : (-R,R) \longrightarrow \mathbb{R}</math>
: <math>.\ \ \ \ \ \ x \longmapsto \sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math>

它在收敛区间(-R,R)上是连续函数。

==幂级数函数的求导和积分==
可以证明，幂级数函数''f''在收敛区间上[[光滑|无穷次可导]]，并且[[积分|可积]]。此外，由于幂级数函数''f''在收敛圆盘内一致收敛，可以进行逐项求导和积分，而且其导函数和积分函数都是在收敛区间上[[连续]]的幂级数函数。它们的收敛半径等于<math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math>的收敛半径''R''。具体形式为：
:<math>
f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n x^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) x^{n}
</math>
:<math>
\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n  x^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} x^{n}} {n} + k
</math>

==函数的幂级数展开==

鉴于幂级数函数的良好分析性质以及对之深入的研究，如能将要研究的函数以幂级数形式来表示，将有助于对其性质的研究。然而，不是所有的函数都能展开为幂级数。一个函数在一点''c''附近'''可展'''（可以展开为幂级数），当且仅当存在正实数''R''>0，使得在复平面中以''c''为圆心以''R''为半径的圆''D''(''c'',''R'')内（不包括边界）有：
:<math>\forall z\in D(c, R),\qquad f(z)=\sum_{n=0}^{+{\infty}}a_n(z-c)^n</math>
其中<math>a_n</math>为确定的常数。

如果一个函数在某处可展，那么它在这点[[光滑函数|无穷可导]]（<math>C^{\infty}</math>），并且在这点附近的展开式是唯一的。
:<math>\forall n\in\mathbb{N},\,a_n={f^{(n)}(c)\over{n!}}</math>
即是在这点的[[泰勒展开]]的第''n''项的值。这时展开得到的幂级数称为函数''f''在''c''点的[[泰勒级数]]。

===函数的可展性===
对于一般的[[光滑函数|无穷可导]]函数<math>f</math>，也可以写出幂级数<math>\sum_{n=0}^{+{\infty}} {f^{(n)}(c)\over{n!}} (x-c)^n</math>，但即使这个幂级数收敛，其值也不一定等于<math>f</math>。例如函数<math>f</math>：
:当''x''>0时，<math>f(x)=e^{-1/x^2}</math> 
:当<math>x \le 0</math>时，<math>f(x)=0</math>
可以证明<math>f</math>无穷可导，并且在0处的每阶[[导数]]都是零，因此相应的幂级数<math>\sum_{n=0}^{+{\infty}} {f^{(n)}(0)\over{n!}} (x)^n</math>恒等于0，不等于<math>f</math>。

函数可以展开成幂级数的[[充要条件]]是其泰勒展开的余项趋于零：
<math>R_n(x)= f(x) -\sum_{n=0}^{n} {f^{(n)}(c)\over{n!}} (x-c)^n  \rightarrow 0</math>，

一个更常用到的[[充分条件]]是：
如果存在正实数''r''，使得<math>f</math>在区间<math>(c-r,c+r)</math>上无穷可导，并且存在正数''M''使得对任意的''n''，任意的<math>x \in (c-r,c+r)</math>都有
:<math> |f^n (x)| \le M</math>，那么<math>f</math>可以在''c''附近展开成幂级数：
:<math>\forall x \in (c-r,c+r) , \ \ f(x)= \sum_{n=0}^{+{\infty}} {f^{(n)}(c)\over{n!}} (x-c)^n</math>。

===常见函数的幂级数展开===
以下是一些常见函数的幂级数展开。运用这些展开可以得到一些重要的[[恒等式]]。
#<math>\forall x\in\mathbb{C},\, e^x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^n}{n!}}.</math> <br><br>
#<math>\forall x\in\mathbb{R},\, \cos 
x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.</math> <br><br>
#<math>\forall x\in\mathbb{R},\, \sin x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.</math><br><br> 
#<math>\forall x\in\mathbb{R},\, \operatorname{ch}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.</math><br><br> 
#<math>\forall x\in\mathbb{R},\, \operatorname{sh}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.</math> <br><br>
#<math>\forall x\in D(0,1),\, {1\over{1-x}}=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{x^n}.</math> <br><br>
#<math>\forall x\in(-1,1],\, \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{+{\infty}}(-1)^{n+1}{x^{n}\over{n}}.</math> <br><br>
#<math>\forall x\in[-1,1],\, \arctan \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}\;</math>，特别地，<math>\pi=4\,\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{(-1)^{n}}{2\,n+1}}</math>。<br><br>
#<math>\forall x\in\,(-1,1),\ \forall \alpha\,\not\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}. </math> <br><br>
#<math>\forall x\in\mathbb{R},\, \forall \alpha\,\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}=\sum_{n=0}^{\alpha}{{\alpha \choose n}\, x^n}.</math> <br><br>
#<math>\forall x\in(-1,1),\, \operatorname{artanh} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}.</math> <br><br>
#<math>\forall x\in(-1,1),\, \arcsin \,x= x + \sum_{n=1}^{+{\infty}}\,\left({\frac{\prod_{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod_{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}  </math><br><br>
#<math>\forall x\in(-1,1),\, \operatorname{arsinh} \,x=x + \sum_{n=0}^{+{\infty}}\,(-1)^n\,\left({\frac{\prod_{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod_{k=1}^{n}\,2\,k}}\right) {\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}} </math><br><br>
#<math>\forall x\in\, \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) , \ \tan x= \frac{2}{\pi}\, \sum_{n=0}^{+{\infty}}\,{\left({\frac{x}{\pi}}\right)}^{2\,n+1}(2^{2\,n+2}-1)\;\zeta (2\,n+2) </math>，其中<math> \forall p>1,\,\zeta(p)=\sum_{n=1}^{+{\infty}}\,\frac{1}{n^p} </math>

==幂级数与解析函数==
{{main|解析函数}}
局部上由收敛幂级数给出的函数叫做'''解析函数'''。解析函数可分成实解析函数与複解析函数。所有的幂级数函数在其收敛圆盘内都是解析函数，并且在所有点上都可展。根据''零点孤立原理''，解析函数的[[零点]]必然是[[孤立点]]。在[[复分析]]中，所有的[[全纯函数]]（即複可微函数）都是无穷可微函数，并是复解析函数，这在[[实分析]]中则不然。

== 形式幂级数==
{{main|形式幂级数}}
在[[抽象代数]]中，幂级数研究的重点是其作为一个[[半环]]的代数性质。幂级数的系数域是实数或复数或其它的域不再重要，敛散性也不再讨论。这样抽离出的代数概念被称为'''形式幂级数'''。形式幂级数在[[组合代数]]有重要用处，例如作为母函数而运用在许多组合恒等式的推导中。

==多元幂级数==
幂级数概念在[[多元微积分]]学中的一个推广是多元幂级数：

:<math>
f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{j_1,\dots,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,\dots,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},
</math> 

其中''j'' = (''j''<sub>1</sub>, ..., ''j''<sub>''n''</sub>)是一个系数为非负整数的[[向量]]。系数''a''<sub>(''j<sub>1</sub>,...,j<sub>n</sub>'')</sub>通常是实数或复数。''c'' = (''c''<sub>1</sub>, ..., ''c''<sub>''n''</sub>)和变量''x'' = (''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)是实数或复数系数的向量。在多重下标的表示法中，则有
:<math>
f(x) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} a_{\alpha} \left(x - c \right)^{\alpha}.
</math>

==参见==
*[[泰勒级数]]
*[[解析函数]]
*[[阿贝尔定理]]
*[[零点孤立原理]]

==参考来源==
{{reflist}}

==參考文獻==
{{refbegin|2}}
*[https://web.archive.org/web/20041211055858/http://www.hainnu.edu.cn/jpkc/mathans/jiaos/img/13.pdf 幂级数介绍]
*[http://218.195.112.45/jpkc/sxfx/wenjian/jiaoan/14.pdf 幂级数展开]{{dead link|date=2017年12月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
*[http://bnucourse.bnu.edu.cn/course/analysis/html/teach/ppt/3/9.ppt 幂级数与泰勒展开]{{dead link|date=2017年12月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
*Henri Cartan, ''Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes'' 
*Jean Dieudonné, ''Calcul infinitésimal'' 
*John H. Mathews、Russell W. Howell, COMPLEX ANALYSIS: for Mathematics and Engineering，第5版, 2006
{{refend}}

[[Category:复分析|M]]
[[Category:级数]]