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{{ Otheruses|subject=环论中的幂零元|other=群论中的幂零群|冪零群}}
{{NoteTA|G1=Math}}

在[[抽象代数]]中，某个环''R''的一个元素''x''是一个'''幂零元'''，当存在一个正整数''n''，使得''x''<sup>''n''</sup>等于加法中的零元素。

== 例子 ==
* 首先来看一个[[矩阵]] 中的例子。在3阶[[方块矩阵|方阵]]中，矩阵：
:<math>A = \begin{pmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
0&0&0\end{pmatrix}
</math>
: 是一个幂零元，因为''A''<sup>3</sup> = 0。

* 在[[商环]] '''Z'''/9'''Z'''中，同余类3是一个幂零元，因为3<sup>2</sup> 是同余类0。

* 如果在不交换的环''R''中，''a'',''b''满足''ab=0''。那么元素''c=ba''（如果非零的话）是一个幂零元，因为''c<sup>2</sup>=(ba)<sup>2</sup>=b(ab)a=0''。在矩阵中的一个例子是：
:<math>A_1 = \begin{pmatrix}
0&1\\
0&1
\end{pmatrix}, \;\;
A_2 =\begin{pmatrix}
0&1\\
0&0
\end{pmatrix} \ . 
</math>
: 于是有 <math> A_1A_2=0,\; (A_2A_1)^2=0 </math>.

== 性质 ==
在一个非平凡的'''交换环'''中，幂零元不可能是乘法的[[可逆元]]。每个幂零元显然都是[[零因子]]。

在交换环中，所有的幂零元组成一个[[理想]]，称作这个环的{{tsl|en|Nilradical of a ring|诣零根}}。每个素理想都包含所有的幂零元，实际上，所有素理想的交集就是环的诣零根。

如果''x''是幂零元，那么1 &minus; ''x''就是一个'''可逆元'''，因为由''x''<sup>''n''</sup> = 0 可得
:(1 &minus; ''x'') (1 + ''x'' + ''x''<sup>2</sup> + ... + ''x''<sup>''n''&minus;1</sup>) = 1 &minus; ''x''<sup>''n''</sup> = 1。

更一般地，在满足交换律的情况下，可逆元与幂零元之和依然是一个可逆元。

一个域上的n阶[[方块矩阵|方阵]]是幂零元，当且仅当它的[[特征多项式]]等于<math> t^n </math>。

==参见==
*[[环 (代数)|环]]

{{ModernAlgebra}}
{{二元運算的性質}}

[[Category:零]]
[[Category:环论]]