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{{Link style|time=2015-12-13T13:30:52+00:00}}
在[[微分几何]]中，一个[[曲面]] <math> S</math> 的'''平均曲率'''（{{lang|en|mean curvature}}）<math>H</math>，是一个“外在的”[[曲率|弯曲]]测量标准，局部地描述了一个曲面[[嵌入]]周围空间（比如二维曲面嵌入三维[[欧几里得空间]]）的曲率。

这个概念由[[索菲·热尔曼]]在她的著作《[[弹性理论]]》中最先引入<ref>
[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Dubreil-Jacotin_Germain.html Dubreil-Jacotin on Sophie Germain]</ref><ref>
[http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890(200308%2F09)110%3A7%3C593%3ACITCC%3E2.0.CO%3B2-O Curvature in the Calculus Curriculum]</ref>。

==定义==

令 <math>p</math> 是曲面 <math>S</math> 上一点，考虑 <math>S</math> 上过 <math>p</math> 的所有[[曲线]] <math>C_i </math>。每条这样的 <math>C_i</math> 在 <math>p</math> 点有一个伴随的[[曲线的曲率|曲率]] <math>K_i</math>。在这些曲率 <math>K_i</math> 中，至少有一个[[极值|极大值]] <math>\kappa_1</math> 与[[极小值]] <math>\kappa_2</math>，这两个曲率 <math>\kappa_1,\kappa_2</math> 称为 <math>S</math> 的[[主曲率]]。

<math>p\in S</math> 的'''平均曲率'''是两个主曲率的平均值{{harv|斯皮瓦克|1999|loc=第3卷，第2章}}，由[[欧拉公式]]其实也是所有曲率的平均值<ref>关于角度的平均值。</ref>，故有此名。
:<math>H = {1 \over 2} (\kappa_1 + \kappa_2)\ .</math>  

利用[[第一基本形式]]与[[第二基本形式]]的系数，平均曲率表示为：
:<math>H =\frac{LG-2MF+NE}{2(EG-F^2)}\ ,</math>

这里 <math>E, F, G</math> 是第一基本形式的系数，<math>L, M, N</math> 为第二基本形式的系数。

平均曲率可推广为更一般情形 {{harv|斯皮瓦克|1999|loc=第4卷，第7章}}，一个[[超曲面]] <math>T</math> 的平均曲率为：
:<math>H=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \kappa_{i}\ .</math> 

更抽象地说，平均曲率是[[第二基本形式]]（或等价地，[[形算子]]）的[[迹]] <math>\times\frac{1}{n}</math>。

另外，平均曲率 <math>H</math> 可以用[[共变导数]] <math>\nabla</math> 写成 
:<math>H\vec{n} = g^{ij}\nabla_i\nabla_j X\ ,</math> 
这里利用了高斯-Weingarten 关系，<math> X(x,t) </math> 是一族光滑嵌入超曲面，<math>\vec{n}</math> 为单位[[法向量]]，而 <math>g_{ij}</math> 是[[度量张量]]。

一个曲面是[[极小曲面]][[当且仅当]]平均曲率为零。此外，平面 <math> S</math> 平均曲率满足一个[[热方程|热型方程]]称为[[平均曲率流]]方程。  

===3 维空间中曲面===
对 3 维空间中的曲面，平均曲率与曲面的单位[[法向量]]相关：

:<math>2 H = \nabla \cdot \hat n\ ,</math> 

这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向：如果曲面“远离”法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立，只要能够计算单位法向量的[[散度]]。

对曲面是两个坐标的函数定义的曲面，比如 <math>z = S(x, y)</math>，使用向下的法向量平均曲率（的两倍）表示为

:<math>\begin{align}2 H & = \nabla \cdot \left[\frac{\nabla(S - z)}{|\nabla(S - z)|}\right] \\
& = \nabla \cdot \left[\frac{\nabla S}{\sqrt{1 + (\nabla S)^2}}\right] \\
& = 
\frac{
\left[1 + \left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2\right] \frac{\partial^2 S}{\partial y^2} - 
2 \frac{\partial S}{\partial x} \frac{\partial S}{\partial y} \frac{\partial^2 S}{\partial x \partial y} + 
\left[1 + \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^2\right] \frac{\partial^2 S}{\partial x^2}
}{\left[1 + \left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}.
\end{align}
</math>

如果曲面还是[[轴对称]]的，满足 <math>z = S(r)</math>，则

:<math>2 H = \frac{\frac{\partial^2 S}{\partial r^2}}{\left[1 + \left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}} + \frac{\frac{\partial S}{\partial r}}{r \left[1 + \left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^2\right]^{\frac{1}{2}}}\ </math>

==流体力学==

在[[流体力学]]中使用的另外一种定义是不要因子 2：

:<math>H_f = (\kappa_1 + \kappa_2)\ .</math>  

这出现于[[楊-拉普拉斯公式]]中，平衡球状小滴内部的压力等于[[表面张力]]乘以 <math>H_f</math>；两个曲率等于小滴半径的倒数 <math>\kappa_1 = \kappa_2 = r^{-1}</math>。

==极小曲面==
[[File:Costa minimal surface.jpg|right|thumb|175px|Costa 极小曲面示意图]]
{{main|极小曲面}}
一个'''极小曲面'''是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有[[:悬链曲面]]、[[螺旋面]]、[[Scherk曲面|Scherk 曲面]]与 [[Enneper曲面|Enneper 曲面]]。新近发现的包括 [[Costa极小曲面|Costa 极小曲面]]（[[:en:Costa's minimal surface|Costa's minimal surface]]，1982年）与 [[Gyroid]]（[[:en:Gyroid|Gyroid]]，1970年）。

极小曲面的一个推广是考虑平均曲率为非零常数的曲面，球面和圆柱面就是这样的例子。Heinz Hopf 的一个问题为是否存在曲率为非零常数的非球面闭曲面。[[球面]]是惟一具有常平均曲率且没有边界或[[奇点]]的曲面；如果允许自交，则存在平均曲率为非零常数的闭曲面，Wente 在1986年曾构造出这样的自交环面{{harv|陈维桓|2006|loc=4.6节}}。

==参见==

* [[高斯曲率]]
* [[平均曲率流]]
* [[逆平均曲率流]]
* [[面积公式第一变分]]

==注释==

{{reflist}}

==参考文献==

*{{citation|last=斯皮瓦克|first=迈克尔|authorlink=迈克尔·斯皮瓦克|publisher=Publish or Perish Press|year=1999|edition=3rd|title=A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4)|id=ISBN 0-914098-72-1 (Volume 3), ISBN 0-914098-73-X (Volume 4)}}.
*{{citation|last=陈维桓|first=|publisher=北京大学出版社|year=2006|title=微分几何|isbn=7-307-10709-9}}

{{曲率}}

[[Category:微分几何|P]]
[[Category:曲面|P]]
[[Category:曲率|P]]