查看“平方”的源代码

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[[File:X square.png|thumb|350px|<center><math>y=x^2</math></center>]]
[[代数]]中，一个[[数]]的'''平方'''是此数与它的本身相乘所得的[[乘法|乘积]]，一个[[元素]]的'''平方'''是此元素与它的本身相乘所得的[[乘法|乘积]]，记作''x''<sup>2</sup>。平方也可視為求指數为2的[[幂]]的值。若''x''是正[[实数]]，这个乘积相当于一个边长为''x''的[[正方形]]的面积；如果''x''为[[虚数]]，则这个乘积为[[负数]]。如果''x''为非虛數的[[复数]]，则这个乘积也是复数。

如果实数''y'' = ''x''<sup>2</sup>，就说''y''是''x''的平方；如果同時''x''是非负数，那么''x''就是''y''的[[平方根]]。如果一个整数 <math>n</math> 是某个整数的平方，则称 <math>n</math> 为一个[[完全平方数]]或平方数。[[有理数]]的平方一定是有理数，[[无理数]]的平方可以是有理数，也可以是无理数。

==平方和==

'''平方和'''通常指一些[[正整数]]的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可以是无限多。
正整数的平方和公式如下：

<math>1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math>
===证明===
用[[数学归纳法]]证明如下：
:<math>n=1</math>時，<math>1^2=\frac{1 \times 2 \times 3}{6}=1</math>成立
:<math>n=2</math>時，<math>1^2+2^2=\frac{2 \times 3 \times 5}{6}=5</math>成立
:設<math>n=k</math>時成立，即<math>1^2+2^2+3^2+....+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}</math>成立
:當<math>n=k+1</math>時，
:<math>1^2+2^2+3^2+....+k^2+(k+1)^2</math>
:<math>=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2</math>
:<math>=\frac{(k+1)(2k^2+k)}{6}+\frac{6(k+1)^2}{6}</math>
:<math>=\frac{(k+1)[(2k^2+k)+6(k+1)]}{6}</math>
:<math>=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6))}{6}</math>
:<math>=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}</math>
:<math>=\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}</math>
:故<math>n=k+1</math>時亦成立，原式得證。
也可以用组合数公式来推导这个公式。

平方和也可以指：<math>a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)</math>

== 參見 ==
* [[立方数|立方]]
* [[次方]]


[[Category:整数数列|P]]
[[Category:初等代数|P]]