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{{refimprove|time=2019-04-21}}
[[File:x square.png|350px|thumb|<math>y=x^2</math> 的圖像。]]
[[数学]]上，'''平方数'''，或称'''完全平方数'''，是指可以写成某个[[整数]]的[[平方]]的数，即其[[平方根]]为整数的数。例如，9 = 3 × 3，它是一个平方数。

平方数也称'''正方形数'''，若 ''n'' 为平方数，将 ''n'' 个点排成[[矩形]]，可以排成一个[[正方形]]。

若将平方数概念扩展到[[有理数]]，则两个平方数的比仍然是平方数，例如， (2&nbsp;×&nbsp;2) / (3&nbsp;×&nbsp;3) = 4/9 = 2/3&nbsp;×&nbsp;2/3。

若一个整数没有除了 1 之外的平方数为其[[因數]]，则称其为[[无平方数因数的数]]。

== 举例 ==
最小的51个平方数为{{OEIS|id=A000290}}：

<div style="float:left; padding: 1em;">
0<sup>2</sup> = [[0]]
</div>

<div style="float:left; padding: 1em;">
:1<sup>2</sup> = [[1]]
:2<sup>2</sup> = [[4]]
:3<sup>2</sup> = [[9]]
:4<sup>2</sup> = [[16]]
:5<sup>2</sup> = [[25]]
:6<sup>2</sup> = [[36]]
:7<sup>2</sup> = [[49]]
:8<sup>2</sup> = [[64]]
:9<sup>2</sup> = [[81]]
:10<sup>2</sup> = [[100]]</div>

<div style="float:left; padding: 1em;">
:11<sup>2</sup> = [[121]]
:12<sup>2</sup> = [[144]]
:13<sup>2</sup> = [[169]]
:14<sup>2</sup> = [[196]]
:15<sup>2</sup> = [[225]]
:16<sup>2</sup> = [[256]]
:17<sup>2</sup> = [[289]]
:18<sup>2</sup> = [[324]]
:19<sup>2</sup> = [[361]]
:20<sup>2</sup> = [[400]]
</div>

<div style="float:left; padding: 1em;">
:21<sup>2</sup> = [[441]]
:22<sup>2</sup> = [[484]]
:23<sup>2</sup> = [[529]]
:24<sup>2</sup> = [[576]]
:25<sup>2</sup> = [[625]]
:26<sup>2</sup> = [[676]]
:27<sup>2</sup> = [[729]]
:28<sup>2</sup> = [[784]]
:29<sup>2</sup> = [[841]]
:30<sup>2</sup> = [[900]]
</div>

<div style="float:left; padding: 1em;">
:31<sup>2</sup> = [[961]]                
:32<sup>2</sup> = [[1024]]              
:33<sup>2</sup> = [[1089]]                     
:34<sup>2</sup> = [[1156]]                
:35<sup>2</sup> = [[1225]]               
:36<sup>2</sup> = [[1296]]              
:37<sup>2</sup> = [[1369]]              
:38<sup>2</sup> = [[1444]]              
:39<sup>2</sup> = [[1521]]              
:40<sup>2</sup> = [[1600]]              
</div>

<div style="float:left; padding: 1em;">
:41<sup>2</sup> = [[1681]]
:42<sup>2</sup> = [[1764]]
:43<sup>2</sup> = [[1849]]   
:44<sup>2</sup> = [[1936]]
:45<sup>2</sup> = [[2025]]
:46<sup>2</sup> = [[2116]]
:47<sup>2</sup> = [[2209]]
:48<sup>2</sup> = [[2304]]
:49<sup>2</sup> = [[2401]]
:50<sup>2</sup> = [[2500]]
</div>
{{clear}}

== 表达式 ==
一个整数是完全平方数当且仅当相同数目的点能够在平面上排成一个正方形的点阵，使得每行每列的点都一样多。
{| cellpadding="8"
|[[1]]<sup>2</sup> = 1
|[[File:Square number 1.png]]
|-
|[[2]]<sup>2</sup> = 4
|[[File:Square number 4.png]]
|-
|[[3]]<sup>2</sup> = 9

|[[File:Square number 9.png]]
|-
|[[4]]<sup>2</sup> = 16
|[[File:Square number 16.png]]
|-
|[[5]]<sup>2</sup> = 25
|[[File:Square number 25.png]]
|}
* 通项公式
对于一个整数 ''n''，它的[[平方]]写成 ''n''<sup>2</sup>。''n''<sup>2</sup>等于头 ''n'' 个正[[奇数]]的和（<math>n^2 = \sum_{k=1}^n(2k-1)</math>）。在上图中，从1开始，第 ''n'' 个平方数表示为前一个平方数加上第 ''n'' 个正奇数，如 5<sup>2</sup> = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 16 + 9。即第五个平方数25等于第四个平方数16加上第五个正奇数：9。

* 递归公式
每个平方数可以从之前的两个平方数计算得到，递推公式为 <math>n^2 = 2(n-1)^2-(n-2)^2+2</math>。例如，2×5<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;4<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;2 = 2×25&nbsp;−&nbsp;16&nbsp;+&nbsp;2 = 50&nbsp;−&nbsp;16&nbsp;+&nbsp;2 = 36 = 6<sup>2</sup>。

* 连续整数的和
平方数还可以表示成 ''n''<sup>2</sup> = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + ''n''&nbsp;−&nbsp;1 + ''n''&nbsp;−&nbsp;1 + ''n''。例如，4<sup>2</sup> = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以将其解释为在边长为 3 的矩形上添加宽度为 1 的一行和一列，即得到边长为 4 的矩形。这对于计算较大的数的平方数非常有用。例如， 52<sup>2</sup> = 50<sup>2</sup> + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

== 性质 ==

* 一个平方数是两个相邻[[三角形數]]之和。两个相邻平方数之和为一个[[中心正方形數]]。所有的奇数平方数同时也是[[中心八边形数]]。

* [[四平方和定理]]說明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。特别的，三个平方数之和不能表示形如 4<sup>''k''</sup>(8''m'' + 7) 的数。[[若且唯若]]一个正整数可以表示[[因數]]中没有形如 4''k''&nbsp;+&nbsp;3 的素数的奇次方，则它可以表示成两个平方数之和。

* 在[[十进制]]中，平方数只能以 0，1，4，6，9 或 25 结尾：

# 若一个数以 0 结尾，它的平方数以 0 结尾（除 0 外，其他數字的個位和十位數字都是 0 ），且00前面的數也是平方数（例如：0x0=0、10x10=100）
# 若一个数以 1 或 9 结尾，它的平方数以 1 结尾，且前面的兩位數字构成的兩位数能被 4 整除（例如：1x1=1、11x11=121；9x9=81、19x19=361）
# 若一个数以 2 或 8 结尾，它的平方数以 4 结尾，且前面的一位數字為偶数（例如：2x2=4、12x12=144；8x8=64、18x18=324）
# 若一个数以 3 或 7 结尾，它的平方数以 9 结尾，且前面的兩位數字构成的兩位数能被 4 整除（例如：3x3=9、13x13=169；7x7=49、17x17=289）
# 若一个数以 4 或 6 结尾，它的平方数以 6 结尾，且前面的一位數字為奇数（例如：4x4=16、14x14=196；6x6=36、16x16=256）
# 若一个数以 5 结尾，它的平方数以 25 结尾，且前面的一位或两位数字必定为 0，2，06，56 之一，25前面的數是[[普洛尼克數]]（例如：5x5=25、15x15=225）

* 在[[十二进制]]中，平方數的末位數必定是平方數（0, 1, 4或9）：

# 若一個數同時是2和3的倍數（也就是為6的倍數），它的平方数以 0 结尾，且前面的一位數字為0或3。
# 若一個數既不是2的倍數也不是3的倍數（也就是與12互質），它的平方数以 1 结尾，且前面的一位數字為偶数。
# 若一個數是2的倍數但不是3的倍數，它的平方数以 4 结尾，且前面的一位數字除以4的餘數為0或1（也就是說，前一位數為0,1,4,5,8,9）。
# 若一個數不是2的倍數而是3的倍數，它的平方数以 9 结尾，且前面的一位數字為0或6。

* 每4个连续的[[自然数]]相乘加 1，必定会等於一个平方数，即 ''a''(''a'' + 1)(''a'' + 2)(''a'' + 3) + 1 = (''a''<sup>2</sup> + 3''a'' + 1)<sup>2</sup>。

* 平方数必定不是[[完全数]]。{{noteTag|1=因為[[完全数]]的正因數總和(含自己)必為偶數，但平方數的正因數總和必為奇數。}}
* 平方數必定是3的倍數或者3的倍數+1。
* 平方數必定是4的倍數或者4的倍數+1。<br>（以上兩者均包括 0 （ 0 倍））

*0以外的平方數每一位數數字相加之和，不停重複地相加到剩一位數時必定是 1, 4, 9, 7 。{{noteTag|1=亦即0以外的平方數必為9的倍數+1, 9的倍數+4, 9的倍數+9, 9的倍數+7 。}}
 
* 是否在相继正方形数之间存在一个素数这一命题，对9000000以内的数目是正确的。<ref>《数论妙趣》267页[美国]阿尔伯特-贝勒著 谈祥柏译，上海教育出版社，ISBN 9787532054732。</ref>
*除了00以外，平方數末2位數若相同，必為44：如12<sup>2</sup>=144，38<sup>2</sup>=1444，62<sup>2</sup>=3844。
*除了000以外，平方數末3位數若相同，必為444：如38<sup>2</sup>=1444，462<sup>2</sup>=213444。
*除了0000以外，平方數末4位數不可能相同。
*除了0以外，平方數不可能是[[普洛尼克數]]。{{noteTag|1=因為n與(n+1)差1，所以兩數互質，故若n×(n+1)為平方數，則n與(n+1)也皆為平方數，2個平方數差1，則必為0與1，因此唯一的普洛尼克數兼平方數為0=0×1。}}。
*除了0以外，平方數也不可能是連續若干個（至少兩個）數的積。
*除了0，1，[[144]]以外，平方數不可能是[[費波那契數]]。<ref>{{cite web|author=JOHN H. E. COHN|title=〈Square Fibonacci Numbers, Etc.〉|url=https://math.la.asu.edu/~checkman/SquareFibonacci.html|publisher=Bedford College, University of London, London, N.W.1.|archiveurl=https://archive.is/GZGI|archivedate=2012-06-30|quote=<u>Theorem 3.</u> If F<sub>n</sub> = x<sup>2</sup>, then n = 0, ±1, 2 or 12.}}</ref>

*除了1跟4以外，平方數也{{來源請求|不可能}}是[[盧卡斯數]]。
*除了0，1，[[169]]以外，平方數{{來源請求|不可能}}是[[佩爾數]]。
*除了0，1，[[4]]，[[19600]]以外，平方數{{來源請求|不可能}}是[[四面體數]]<ref>D. Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Penguin Books, NY, 1986, 600.</ref><ref>D. Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, p. 165 (Rev. ed. 1997). </ref>。
*平方數不可能是[[楔形數]]。
*奇數的平方數一定是八的倍數加一。
*平方數是模任何整數的[[二次剩餘]]；另外，如果某個整數是模任何整數的二次剩餘，那麼她一定是平方數。
*平方數的正[[因數]]總和(含自己)一定是[[奇數]]。
*正[[因數]]個數是[[奇數]]的數都是平方數，反之亦然。<ref>{{cite web|author=郭耀元|title=探討完全平方數在數論領域中之研究|publisher=私立高英高級工商職業學校|url=http://210.60.110.11/reading/wp-content/uploads/2015/05/10303003.pdf|archiveurl=https://archive.today/20180106113331/http://210.60.110.11/reading/wp-content/uploads/2015/05/10303003.pdf|archivedate=2018年1月6日|deadurl=yes}}</ref>
*當<math>m \le 300000</math>時，[[不定方程]]<math>1^2+2^2+3^2+......+m^2=\sum_{k=1}^m k^2={\color{Red}\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}=n^2}</math>的正整數解(m , n)只有(1 , 1)與(24 , 70)。

==註釋==
{{NoteFoot}}
==參考資料==
<references/>

== 參看 ==
* [[平方]]
* [[立方數]]：平方數在立體的推廣
* [[四次方數]]：平方數在[[四維空間]]的推廣
* [[三角形数]]
* [[三角平方數]]：同時為三角形數和平方數的數
* [[多邊形數]]
{{Commonscat|Square_numbers}}

{{有形數}}

[[Category:多邊形數及多面體數|4]]