查看“平方根”的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
[[File:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|thumb|256px|right|算术平方根的數學表示式]]

在[[數學]]中，一個數<math>x</math>的'''平方根'''<math>y</math>指的是滿足<math>y^2 = x</math>的數，即[[平方]]結果等於<math>x</math>的數。例如，4和-4都是16的平方根，因为<math>4^2=(-4)^2=16</math>。

任意非負[[實數]]都有唯一的非負平方根，称为'''算术平方根'''或'''-{zh-cn:主平方根; zh-tw:算術平方根;}-'''（{{lang-en|principal square root}}），記為<math>\sqrt x</math>，其中的符号√称作[[根号]]。例如，9的算术平方根为{{Root|9}}，记作 <math>\sqrt 9 = 3</math>，因为<math>3^2=3 \times 3 =9</math>并且3非负。被求平方根的数称作'''被开方数'''（{{lang-en|radicand}}），是根号下的数字或者表达式，即例子中的数字9。

[[正数]]<math>x</math>有兩個互为[[加法逆元|相反数]]的平方根：正数<math>\sqrt x</math>与负数<math>-\sqrt x</math>，可以将两者一起记为<math>\pm \sqrt x</math>。

[[負數]]的平方根在[[複數 (數學)|复数系]]中有定義。而實際上，對任何定義了開平方運算的數學對象都可考慮其“平方根”（例如[[矩陣的平方根]]）。

== 历史 ==

耶鲁大学的巴比伦藏品{{Tsl|en|YBC&nbsp;7289}}是一块泥板，制作于[[前1800年]]到[[前1600年]]之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形，标注了<math>\sqrt 2</math>的[[十六进制]]数字 1;24,51,10。<ref>{{cite web|url=http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/ybc/analysis.html|title=Analysis of YBC 7289|work=ubc.ca|accessdate=19 January 2015}}</ref>十六进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296，精确到了小数点后5位（1.41421356...）。

[[莱因德数学纸草书]]大约成书于[[前1650年]]，内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。<ref>Anglin, W.S. (1994). ''Mathematics: A Concise History and Philosophy''. New York: Springer-Verlag.</ref>

[[古印度]]的《[[绳法经]]》大约成书于[[前800年]]到[[前500年]]之间，书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。

古希腊的《[[几何原本]]》大约成书于[[前380年]]，书中还阐述了如果[[自然数|正整数]]不是[[完全平方数]]，那么它的平方根就一定是[[无理数]]——一种无法以两个正数的[[比率|比值]]表示的数（无法写作''m/n''，其中''m''和''n''是整数）。<ref>{{cite book
|first= Sir Thomas L. 
|last= Heath
|editor= 
|title= The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3
|url=https://archive.org/stream/thirteenbookseu03heibgoog#page/n14/mode/1up
|year=1908
|publisher=Cambridge University Press
|page=3
}}</ref>

中国的《[[算数书]]》成书于[[汉朝]]（约[[前202年]]到[[前186年]]之间），书中介绍了使用[[盈不足术]]求平方根的方法。

古代未有劃一的平方根符號時，人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。

<!--7世紀時[[印度]][[數學家]][[婆羅摩笈多]]（Brahmagupta）用[[梵文]]的平方根“carani”的首個字母為平方根符號。-->[[拉丁語]]中的latus（正方形邊）的首個字母“L”受不少中世紀的歐洲人採用；[[亨利·布里格斯]]在其著作''Arithmetica Logarithmica''則用橫線當成latus的簡寫，在要被開方的數下畫一線。

最有影響的是拉丁語的radix（平方根），1220年Leconardo在''Practica geometriae''使用R（R右下角的有一斜劃，像P和x的合體）；<math>\sqrt {}</math>（沒有上面的橫劃）是由[[克里斯多福·魯登道夫]]在1525年的書''Coss''首次使用，據說是小楷r的變型；后来数学家[[笛卡尔]]给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的（即“√ ￣”），因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将[[根指数]]写在[[根号]]的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写。）。从而形成了现在人們熟知的[[开方]][[运算]]符号<math>\sqrt[n]{\,\,}</math>。

== 實數的平方根 ==
<math>x</math>的平方根亦可用[[指數]]表示，如：
:<math>x^\frac 1 2 = \sqrt x</math>

<math>x</math>的[[絕對值]]可用<math>x^2</math>的算數平方根表示：
:<math>|x| = \sqrt{x^2}\left( =\begin{cases}
x &(x \ge 0) \\
-x &(x < 0) 
\end{cases}\right)</math>

=== 正數的平方根 ===
[[File:Square root 0 25.svg|thumb|400px|函數<math>f(x) = \sqrt x</math>圖，半[[拋物線]]與垂直準線。]]
若正[[整數]]<math>x</math>是[[平方數]]，則其平方根是整數。若正整數<math>x</math>不是平方數，則其平方根是[[無理數]]。

對於正數<math>x</math>、<math>y</math>，以下式成立：

:<math>\begin{align}
\sqrt{x} \sqrt{y} &= \sqrt{xy}\\
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} &= \sqrt{\frac{x}{y}}
\end{align}</math>

=== 負數的平方根 ===
[[負數]]的平方根在[[複數]]範圍内同樣有定義。

负数有兩個平方根，它们为一对[[共軛複數|共轭]]的[[虚数|纯虚数]]。

以[[虛數單位]]<math>i=\sqrt{-1}</math>可將負數<math>x</math>的平方根表示為

:<math>\pm \sqrt{-x}i</math>，其中<math>\sqrt{-x}i = \sqrt x</math>。

例如-5的平方根有两个，它们分别为<math>\sqrt{5}i</math>和<math>-\sqrt{5}i</math>。

對於負數<math>x</math>、<math>y</math>，以下式成立：

:<math>\begin{align}
\sqrt{x} \sqrt{y} &= \sqrt{-x}\,i \times \sqrt{-y}\,i = \sqrt{xy}\,i^2 = -\sqrt{xy}\\
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} &= \frac{\sqrt{-x}i}{\sqrt{-y}i} = \sqrt{\frac{-x}{-y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}
\end{align}</math>

== 平方根函數 ==
{{no plot}}

== 负数与複數的平方根 ==

正数和负数的平方都是正数，0的平方是0，因此负数没有[[实数]]平方根。然而，我们可以把我们所使用的数字集合扩大，加入负数的平方根，这样的集合就是[[复数]]。首先需要引入一个实数集之外的新数字，记作<math>i</math>（也可以记作<math>j</math>，比如[[电学]]场景中<math>i</math>一般表示电流），称之为[[虚数单位]]，定义即为<math>i^2 = -1</math>，故<math>i</math>是-1的平方根，而且<math>(-i)^2 = i^2 = -1</math>，所以<math>-i</math>也是-1的平方根。通常称-1的算术平方根是<math>i</math>，如果<math>x</math>是任意非负实数，则<math>-x</math>的算术平方根就是：
:<math>\sqrt{-x} = i \sqrt{x}</math>

之所以等式右侧（包括其对应的负值）是<math>-x</math>的算术平方根，是因为：
:<math>(i\sqrt{x})^2 = i^2(\sqrt{x})^2 = (-1)x = -x</math>

对于任何一个非零的复数<math>z</math>都存在两个複数<math>w</math>使得<math>w^2 = z</math>。

=== 虚数的算术平方根 ===

[[Image:Imaginary2Root.svg|right|thumb|复数平面中，<math>i</math>的两个平方根]]

虚数<math>i</math>的算术平方根可以根据以下公式计算：
:<math>\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)</math>

这个公式可以通过用[[代数]]方法推导，只需找到特定的实数<math>a</math>和<math>b</math>，满足
:<math>
\begin{align}
i &= (a + bi)^2 \\
&= a^2 + 2abi - b^2
\end{align}
</math>

就可以得到[[方程组]]
:<math>
\begin{cases}
2ab = 1 \\
a^2 - b^2 = 0
\end{cases}
</math>

的解：
:<math>a = b = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}</math>

其中，算术平方根即为
:<math>a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}</math>

这个公式还可以通过[[棣莫弗公式]]得到，设
:<math>i = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)</math>

就可以推出
:<math>
\begin{align}
\sqrt{i} &= \left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)\right]^{\frac{1}{2}}  \\
&= \cos \left(\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) \\
&= \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \\
&= \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)
\end{align}
</math>

=== 复数的算术平方根 ===

[[Image:Visualisation_complex_number_roots.svg|right|thumb|极坐标下，复数<math>z</math>的几个方根]]

首先，我们将复数<math>x + iy</math> 看作是平面上的点，即[[笛卡尔坐标系]]中的<math>(x, y)</math>点。这个点也可以写作[[极坐标]]的<math>(r, \varphi)</math>，其中<math>r \geq 0</math>，是该点到坐标原点的距离，<math>\varphi</math>则是从原点到该点的直线与实数坐标轴（<math>x</math>轴）的夹角。[[复分析]]中，通常把该点记作<math>re^{i \varphi}</math>。如果

:<math>z = r e^{i \varphi}, -\pi < \varphi \le \pi</math>

那么我们将<math>z</math>的算术平方根定义为：
:<math>\sqrt{z} = \sqrt{r} e^{\frac{i \varphi}{2}}</math>

因此，平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处[[全纯函数|全纯]]的。<math>\sqrt{1+x}</math>的泰勒级数也适用于复数<math>x (\left \vert x \right \vert < 1)</math>。

上面的公式还可以用[[三角函数]]的形式表达：
:<math>\sqrt{r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi \right)} = \sqrt{r} \left(\cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{\varphi}{2}\right)</math>

=== 代数公式 ===

如果使用笛卡尔坐标的形式表达复数 ''z''，其算术平方根可以使用如下公式：<ref>{{cite book
 |title       = Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables
 |edition     = 
 |first1      = Milton
 |last1       = Abramowitz
 |first2      = Irene A.
 |last2       = Stegun
 |publisher   = Courier Dover Publications
 |year        = 1964
 |isbn        = 0-486-61272-4
 |page        = 17
 |url         = https://books.google.com/books?id=MtU8uP7XMvoC
 |deadurl     = no
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20160423180235/https://books.google.com/books?id=MtU8uP7XMvoC
 |archivedate = 2016-04-23
 |df          = 
}}, [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_17.htm Section 3.7.27, p. 17] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090910094533/http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_17.htm |date=2009-09-10 }}
</ref><ref>{{cite book
 |title       = Classical algebra: its nature, origins, and uses
 |first1      = Roger
 |last1       = Cooke
 |publisher   = John Wiley and Sons
 |year        = 2008
 |isbn        = 0-470-25952-3
 |page        = 59
 |url         = https://books.google.com/books?id=lUcTsYopfhkC&pg=PA59
 |deadurl     = no
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20160423183239/https://books.google.com/books?id=lUcTsYopfhkC&pg=PA59
 |archivedate = 2016-04-23
 |df          = 
}}
</ref>
:<math>\sqrt{z} = \sqrt{\frac{|z| + \Re(z)}{2}} \pm i \sqrt{\frac{|z| - \Re(z)}{2}}</math>

其中，方根虚部的[[符号函数|符号]]与被开方数虚部的符号相同（为0时取正）；{{Tsl|en|Principal value|主值}}实部永远非负。

在虛數{{裏}}，平方根函數的值不是連續的，以下等式不一定成立：
* <math>\sqrt{zw} = \sqrt{z} \sqrt{w}</math>
* <math>\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{z}} = \sqrt{\frac{w}{z}}</math>
* <math>\sqrt{z^*} = \left(\sqrt{z}\right)^*</math>

所以這是錯誤的：
:<math>-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1</math>

==多项式的平方根==
{{see also|因式分解}}
例：若<math>x\in\mathbb{R}</math>，<math> \sqrt{x^4+2x^2+1}=\sqrt{(x^2+1)^2}=|x^2+1|=x^2+1\,\!</math>

== 2的算术平方根 ==
數學史中，最重要的平方根可以說是<math>\sqrt{2}</math>，它代表邊長為1的[[正方形]]的[[對角線]]長，是第一個公認的[[無理數]]，也叫[[2的算术平方根|毕达哥拉斯常数]]，其值到小數點14位約為{{Root|2}}。

<math>\sqrt{2}</math>是無理數，可由[[歸謬法]]證明：

# 設<math>\sqrt{2}</math>為[[有理數]]，可表示為<math>{\frac{p}{q}}</math>，其中<math>p</math>、<math>q</math>為[[互質]]之正整數。
# 因為<math>\left( \sqrt 2 \right) ^{2} = {\frac{p^2}{q^2}} = 2</math>，故<math>p^2</math>是2的倍數，''<math>p</math>''也是2的倍數，記為<math>2k</math>，其中<math>k</math>為正整數。
# 但是<math> 2q^2 = p^2 = 4k^2 </math>，故<math> q^2 = 2k^2 </math>，<math> q^2 </math>是2的倍數，''<math>q</math>''也是2的倍數。
# 依上兩式，<math>p</math>、<math>q</math>都是2的倍數，和<math>p</math>、<math>q</math>為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法，得證<math>\sqrt{2}</math>不是有理數，即<math>\sqrt{2}</math>是無理數。

== 計算方法 ==
=== 中算开方 ===
[[File:JIA XIAN SQRT2.GIF|thumb|right|300px|北宋贾宪增乘开平方法]]
《[[九章算术]]》和《[[孙子算经]]》都有[[筹算]]的开方法。[[宋代]]数学家[[贾宪]]发明[[释锁开平方法]]、[[增乘开平方法]]；[[明代]]数学家[[王素文]]，[[程大位]]发明[[珠算开平方法]]，而[[朱载堉]]《[[算学新说]]》首创用81位[[算盘]]开方，精确到25位数字<ref>劳汉生《珠算与实用算术》ISBN 7-5375-1891-2/O</ref>。

=== 長除式算法 ===
長除式算平方根的方式也稱為直式開方法，原理是<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+(2a+b)b</math>。

# 首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開，如98765.432內小數點前的65是一組，87是一組，9是一組，小數點後的43是一組，之後是單獨一個2，要補一個0而得20是一組。如1 04.85 73得四組，順序為1' 04. 85' 73'。
# 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數）記下。
# 將上一步所得之差乘100，和下一組數加起來。 
# 將記下的數乘20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個個位數，令這個積不大於但最接近上一步所得之差，並將該個個位數記下，且將上一步所得之差減去所得之積。
# 記下的數一次隔兩位記下。
# 重覆第3步，直到找到答案。
# 可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止。

下面以<math>\sqrt{200}</math>為例子：

<math>\begin{array}{ll}
\quad{\color{Red}1}~~{\color{Green}4}.~~{\color{Blue}1}~~{\color{Purple}4}~~{\color{Orange}2}\\
\sqrt{2|00.00|00|00}\\
\quad\underline{1\quad~}&\quad{\color{Red}1}\times{\color{Red}1}\le2\\
\quad1~00&a={\color{Red}1}0,b={\color{Green}4}\\
\quad\underline{~~\,96\quad~}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=2{\color{Green}4}\times{\color{Green}4}=96\le100\\
\qquad~4~00&a={\color{Red}1}{\color{Green}4}0,b={\color{Blue}1}\\
\qquad~\underline{2~81\quad~}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=28{\color{Blue}1}\times{\color{Blue}1}=281\le400\\
\qquad~1~19~00&a={\color{Red}1}{\color{Green}4}{\color{Blue}1}0,b={\color{Purple}4}\\
\qquad~\underline{1~12~96\quad~}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=282{\color{Purple}4}\times{\color{Purple}4}=11296\le11900\\
\qquad\quad~~6~04~00&a={\color{Red}1}{\color{Green}4}{\color{Blue}1}{\color{Purple}4}0,b={\color{Orange}2}\\
\qquad\quad~~\underline{5~65~64}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=2828{\color{Orange}2}\times{\color{Orange}2}=56564\le60400\\
\qquad\quad\quad~\,38~36\\
\end{array}</math>

<math>\sqrt{200} \approx 14.14213562373095048801668872421</math>

[[四捨五入]]得答案為14.14。

事實上，將算法稍作改動，可以開任何次方的根，詳見[[n次方算法]]。

利用高精度长式除法可以计算出1至20的平方根如下：
{|
|- 
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {1}</math>||<math>=\,</math>|| 1
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {2}</math>||<math>\approx</math>|| 1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {3}</math>||<math>\approx</math>|| 1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {4}</math>||<math>=\,</math>|| 2
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {5}</math>||<math>\approx</math>|| 2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {6}</math>||<math>\approx</math>|| 2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {7}</math>||<math>\approx</math>|| 2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {8}</math>||<math>\approx</math>|| 2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {9}</math>||<math>=\,</math>|| 3
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {10}</math>||<math>\approx</math>|| 3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {11}</math>||<math>\approx</math>|| 3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {12}</math>||<math>\approx</math>|| 3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {13}</math>||<math>\approx</math>|| 3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {14}</math>||<math>\approx</math>|| 3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {15}</math>||<math>\approx</math>|| 3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {16}</math>||<math>=\,</math>|| 4
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {17}</math>||<math>\approx</math>|| 4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {18}</math>||<math>\approx</math>|| 4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {19}</math>||<math>\approx</math>|| 4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
|-
|align="right" style="padding-bottom:5px;"|<math>\sqrt {20}</math>||<math>\approx</math>|| 4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276
|}

=== 牛頓法 ===
<!--[[File:Babylonian method.svg|300px|right|thumb
|圖示如何用牛頓法計算100的平方根（10），啟始值分別為<span style="color:#008">''x''<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;50</span>,
<span style="color:#F00">''x''<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;1</span>及
and <span style="color:#080">''x''<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;&minus;5</span>。若啟始值為負值會收斂到負值的平方根]]-->

如果要求<math>S\,(S>1)</math>的平方根，選取<math>1\,<\,x_0\,<\,S</math>
: <math>x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{S}{x_n}\right)</math>

例子：求<math>\sqrt{125348}</math>至6位[[有效數字]]。
:<math>x_0 = 3^6 = 729.000\,\!</math>
:<math>x_1 = \frac{1}{2} \left(x_0 + \frac{S}{x_0}\right) = \frac{1}{2} \left(729.000 + \frac{125348}{729.000}\right) = 450.472</math>
:<math>x_2 = \frac{1}{2} \left(x_1 + \frac{S}{x_1}\right) = \frac{1}{2} \left(450.472 + \frac{125348}{450.472}\right) = 364.365</math>
:<math>x_3 = \frac{1}{2} \left(x_2 + \frac{S}{x_2}\right) = \frac{1}{2} \left(364.365 + \frac{125348}{364.365}\right) = 354.191</math>
:<math>x_4 = \frac{1}{2} \left(x_3 + \frac{S}{x_3}\right) = \frac{1}{2} \left(354.191 + \frac{125348}{354.191}\right) = 354.045</math>
:<math>x_5 = \frac{1}{2} \left(x_4 + \frac{S}{x_4}\right) = \frac{1}{2} \left(354.045 + \frac{125348}{354.045}\right) = 354.045</math>
因此<math>\sqrt{125348} \approx 354.045</math>.

=== [[連分數]] ===
平方根可以简便地用连分数的形式表示，关于连分数请见[[连分数]]，其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为：<br />
<math>\sqrt {1}=1</math><br />
<math>\sqrt {2}=[1;2,2,2,2...] </math><br />
<math>\sqrt {3}=[1;1,2,1,2...] </math><br />
<math>\sqrt {4}=2 </math><br />
<math>\sqrt {5}=[2;4,4,4,4...] </math><br />
<math>\sqrt {6}=[2;2,4,2,4...]</math><br />
<math>\sqrt {7}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4...] </math><br />
<math>\sqrt {8}=[2;1,4,1,4...]</math><br />
<math>\sqrt {9}=3</math><br />
<math>\sqrt {10}=[3;6,6,6,6...] </math><br /> 
<math>\sqrt {11}=[3;3,6,3,6...]</math><br />
<math>\sqrt {12}=[3;2,6,2,6...] </math><br />
<math>\sqrt {13}=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6...] </math><br />
<math>\sqrt {14}=[3;1,2,1,6,1,2,1,6...] </math><br />
<math>\sqrt {15}=[3;1,6,1,6...] </math><br />
<math>\sqrt {16}=4 </math><br />
<math>\sqrt {17}=[4;8,8,8,8...] </math><br />
<math>\sqrt {18}=[4;4,8,4,8...] </math><br />
<math>\sqrt {19}=[4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8...] </math><br />
<math>\sqrt {20}=[4;2,8,2,8...] </math><br />

连分数部分均循环，省略号前为2或4个循环节。

===巴比倫方法===
<div class="rellink<nowiki> </nowiki>noprint relarticle mainarticle">主条目：{{link-en|巴比倫方法|Babylonian method}}</div>
巴比伦求平方根的算法实际上很简单：（假设要求一个数N的平方根）

# 预测一个平方根<math>x</math>，初始另一个值<math>y</math>，且<math>xy=N</math>
# 求预测值与初始值的均值：<math>x=x=\frac{x+y}{2}</math>
# 比较<math>x</math>和<math>y</math>的差值是否达到精度，如果无，继续步骤

=== 重複的算術運算 ===
這個方法是從[[佩爾方程]]演變過來的，它通過不斷減去奇數來求得答案。

=== [[尺规作图]] ===
==== 問題 ====
給定線段''AB''和1，求一條長為<math>\sqrt{AB}</math>的線段。

==== 解法 ====
[[File:Rcsquare root.png|right]]
# 畫線''AB''，延長''BA''至''C''使<math>AC=1</math>
# 以''BC''的中點為圓心，''OC''為半徑畫圓
# 過''A''畫''BC''的垂直線，垂直線和圓弧交於''D''，''AD''即為所求之長度

==== 證明 ====
將整個過程搬到[[笛卡儿坐标系|直角座標]]上，已知''AC''=1，設
* ''O''=<math>(0,0)</math>
* ''AB''=<math>n</math>

# 直徑為''BC''的圓就是<math>x^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2</math>（圓的方程式：<math>x^2+y^2=r^2</math>）（其中<math>r</math>表示半径。）
# 將<math>\left({\frac{n+1}{2}} -1 \right)</math>（''A'',''D''所在的''x''座標）代入上面的方程式
# <math>\left({\frac{n+1}{2}} -1 \right)^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2</math>
# 解方程，得<math>y=\sqrt{n}</math>。

另也可参见[[射影定理]]。
[[File:射影定理 2.jpg|缩略图|射影定理（图）]]

== 参见 ==
* [[方根]]
* [[增乘开平方法]]
*[[二项式定理]]
*[[牛顿法]]

== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/19990220034927/http://members.aol.com/jeff570/operation.html Earliest Uses of Symbols of Operation]{{en}}
* [https://web.archive.org/web/20060821061824/http://www.roma.unisa.edu.au/07305/symbols.htm#Radical#Radical The History of Mathematical Symbols: The radical symbol]
* [http://www.docin.com/p-133945458.html 开方公式的推导]
* [http://www.calculatorsquareroot.com 平方根計算器]{{en}}

== 參考資料 ==
<div class="references-small">
<references />
</div>

[[Category:初等代数|P]]
[[Category:算术|P]]
[[Category:基本特殊函数|P]]