查看“平移”的源代码

{{dablink|本文介绍欧几里得空间中的“平移”，不是[[平移运动]]、[[平行移动]]。}}
[[File:TraslazioneOK.png|thumb|right|平移將物件的每一點向同一方向移動相同距離。]]
[[File:Simx2=traslOK.png|right|thumb|在针对一个轴的反射之后的针对另一个平行于前一个轴的轴的[[反射 (数学)|反射]]导致是平移的总和运动。]]
在[[仿射幾何]]，'''平移'''（translation）是將物件的每[[點]]向同一方向移動相同距離。

它是[[等距同構]]，是[[仿射空間]]中[[仿射變換]]的一種。它可以視為將同一個[[向量]]加到每點上，或將坐標系統的中心移動所得的結果。即是說，若<math>\mathbf{v}</math>是一個已知的向量，<math>\mathbf{p}</math>是空間中一點，平移<math>T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p})=\mathbf{p}+\mathbf{v}</math>。

將同一點平移兩次，結果可用一次平移表示，即<math>T_{\mathbf{v}}(T_{\mathbf{u}}(\mathbf{p}))=T_{\mathbf{v}+\mathbf{u}}(\mathbf{p})</math>，因此所有平移的集是一個[[群]]，稱為'''平移群'''。這個群和空間同構，又是[[歐幾里德群]]E(n)的[[正规子群]]。

T對E的[[商群]]與[[正交群]]O(n)同構：E(n) / T = O(n)。

== 矩陣表示 ==
例如在三維空間，使用[[齐次坐标]]，<math>T_{\mathbf{v}}</math>可用[[矩陣]]表示為

: <math> T_{\mathbf{v}} = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & v_x \\
0 & 1 & 0 & v_y \\
0 & 0 & 1 & v_z \\
0 & 0 & 0 & 1 
\end{bmatrix}
</math>。

平移的結果<math>T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p})</math>就是

:<math>T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p})=T_{\mathbf{v}}\mathbf{p}=
\begin{bmatrix}
p_x+v_x \\
p_y+v_y \\
p_z+v_z \\
1 
\end{bmatrix}
</math>。


平移的[[逆矩陣]]：<math> T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}}</math>。兩個平移矩陣的[[積]]就是兩次平移的結果：<math> T_{\mathbf{u}}T_{\mathbf{v}} = T_{\mathbf{u}+\mathbf{v}} </math>。因為向量加法符合[[交換律]]，所以平移群不像一般矩陣乘法，平移矩陣乘法是可交換的。

== 參見 ==
* [[平移運動]]
* [[平移對稱]]
* [[變換矩陣]]
* [[反射 (数学)|反射]]
* [[旋转]]
* [[反演]]
* [[点反演]]
* [[缩放]]

== 外部連結 ==
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Translation.shtml Translation Transform] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.mathsisfun.com/geometry/translation.html Geometric Translation (Interactive Animation)] at Math Is Fun
* [http://demonstrations.wolfram.com/Understanding2DTranslation/ Understanding 2D Translation] and [http://demonstrations.wolfram.com/Understanding3DTranslation/ Understanding 3D Translation] by Roger Germundsson, [[The Wolfram Demonstrations Project]].

[[Category:欧几里得几何]]
[[Category:欧几里得对称]]