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[[File:Color parallelogram.svg|right|thumb|一個邊為藍色而對角線為紅色的平行四邊形，两条红线长度的平方之和等于四条蓝线的长度的平方之和。]]
在[[数学]]中，'''平行四边形恒等式'''是描述[[平行四邊形]]的[[几何]]特性的一个[[恒等式]]。它[[逻辑等价|等價]]於[[三角形]]的[[中線定理]]。在一般的[[赋范空间|赋范]][[内积空间]]（也就是定义了长度和角度的空间）中，也有类似的结果。这个等式的最简单的情形是在普通的平面上：一个平行四边形的兩條[[對角線]]长度的[[平方]]和，等於它四邊长度的平方和。假设这个平行四边形是写作<math>ABCD</math>的话，那么平行四边形恒等式就可以写成：
:<math>(AB)^2+(BC)^2+(CD)^2+(DA)^2=(AC)^2+(BD)^2</math>

当平行四边形是[[矩形]]的时候，由矩形的几何特性可以知，这时两条对角线是一样长的。所以平行四边形恒等式变为：
:<math>2(AB)^2+2(BC)^2 = 2(AC)^2</math>

也就是[[直角三角形]]的[[勾股定理]]：

:<math>(AB)^2+(BC)^2 = (AC)^2</math>

也就是说，平面上的平行四边形恒等式可以看成是勾股定理的一种推广。

== 一般四边形的情况 ==
<!--[[File:Parallelogram identity2.svg|thumb|right|210px|一般四边形的情况。四边（黑色）之平方和等于对角线（红色）之平方和加上对角线中点联线（蓝色）的平方的四倍。]]-->
对于一般的四边形，平行四边形恒等式不再成立，但可以得到的是一个相似的不等式：
: <math>(AB)^2+(BC)^2+(CD)^2+(DA)^2 \ge (AC)^2+(BD)^2</math>

用一般的语言来说，就是一般四边形的四条边长度的平方和总是[[大于]]或者[[等于]]两条对角线长度的平方和。一个更加精确的结果是：
: <math>(AB)^2+(BC)^2+(CD)^2+(DA)^2  = (AC)^2+(BD)^2 + 4x^2</math>
其中的<math>x</math>是两条对角线的[[中点]]连成的[[线段]]的长度。<ref>{{cite book|author=R.A.约翰逊，单墫 译|title=近代欧氏几何学|publisher=上海教育出版社|year = 1997 |isbn =7-5320-6392-5}}，第56页</ref>

=== 複平面情形 ===
在[[複數|复平面]]上，可以将平行四边形恒等式写为复数的形式。
: <math> 2\left(|z|^2+|w|^2\right) = |z+w|^2 + |z-w|^2. </math>

== 使用[[勾股定理]]的證明 ==
[[File:Parallelogram identity.JPG|thumb|right|380px|使用勾股定理证明平行四边形恒等式]]
如右图，在平行四邊形<math>ABCD</math>中，设边<math>AB</math>的長度为<math>a</math>，過点<math>B</math>作垂直于<math>AB</math>的直線交线段<math>CD</math>於<math>H</math>，设线段<math>BH</math>的長度（即<math>AB</math>對應的高）为<math>h</math>，线段<math>HC</math>的長度为<math>g</math>。那么

*  <math>AB</math>边和<math>CD</math>边的长度的平方一样，都是：<math>AB^2=CD^2=a^2</math>
*  <math>BC</math>边和<math>DA</math>边的长度的平方一样。根据勾股定理，可以算出：<math>BC^2=DA^2=g^2+h^2</math>
* 同样的，根据勾股定理，也可以算出对角线<math>AC</math>的长度的平方为：<math>AC^2=(a+g)^2+h^2</math>
* 而对角线<math>BD</math>的长度的平方则是：<math>BD^2=(a-g)^2+h^2</math>

于是平行四边形四邊长度的平方和等于：

:<math>AB^2+CD^2+BC^2+DA^2=2(a^2+g^2+h^2)</math>
而平行四边形的两条對角線长度的平方和则等于：

:<math>AC^2+BD^2=(a+g)^2+h^2+(a-g)^2+h^2=2(a^2+g^2+h^2)</math>

可以看到，两者是一样的。

== [[赋范空间|赋范]][[内积空间]]上的推广 ==
[[File:Parallelogram law.PNG|thumb|left|200px|在一个赋范内积空间中，两个向量''x''和''y''（红色）的平方和的两倍等于它们的和（深紫色向量）与差（浅紫色向量）的平方和。]]

更一般的，在高维的欧几里得空间中（比如在三维空间中），可以想象平行四边形恒等式仍然是成立的，因为总可以找到平行四边形所在的平面，然后用平面上的方法证明。而在更广泛的定义了[[内积]]（初等几何中“角度”概念的推广，记作<math>\langle  \cdot , \cdot \rangle</math>）和相应的[[范数]]（初等几何中“长度”概念的推广，记作<math>\| x \| = \sqrt{\langle  x , x \rangle}</math>）的[[线性空间]]中，尽管已经没有直观几何意义上的平行四边形的概念，但仍然会有类似的恒等式：
:<math>\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)</math><ref>{{cite book | title = 《矩阵分析与应用》| author =张贤达 | year =2004 | publisher = 清华大学出版社 |isbn = 7-302-09271-0}}，第46页</ref><ref>{{cite book | title = Continuous functions of vector variables | author =Alberto Guzman | year = 2002 | publisher =Birkhäuser Boston  |isbn =978-0-817-64273-0 }}，第28页</ref>

也就是说，两个向量的和与差的“长度”（范数）的平方和等于它们自己的“长度”的平方和的两倍。

如果是没有定义内积，仅仅有范数的线性空间，则不一定有这样的结果。如果线性空间上定义的范数不是与某个内积相联系（<math>\| x \| = \sqrt{\langle  x , x \rangle}</math>）的话，那么上面的等式将不再成立。<ref>{{cite book | title = Interpolation, identification, and sampling | author =Jonathan Richard Partington | year = 1997 | publisher = Clarendon Press   |isbn = 978-0-198-50024-7 }}，第157页</ref><ref>{{cite book | title = 《高等代数学》 | author =张贤科,许甫华 | year = 2004 | publisher = 清华大学出版社  |isbn = 978-7-302-08227-9 }}，第349页</ref>

=== 使用内积和范数的證明 ===
<math>\|x+y\|^2+\|x-y\|^2 = \langle x+y, x+y\rangle + \langle x-y, x-y\rangle</math>

<math>
= \langle x, x \rangle +2 \langle x, y\rangle +\langle y, y\rangle
  \ +\  
  \langle x, x\rangle - 2 \langle x, y\rangle + \langle y, y\rangle
</math>

<math>
= 2\langle x, x \rangle + 2\langle y, y\rangle = 2(\|x\|^2+\|y\|^2)
</math>

== 参见 ==
*[[托勒密定理]]
*[[中线定理]]
*[[余弦定理]]
*[[希尔伯特空间]]
*[[极化恒等式]]

== 参考来源 ==
<references/>


[[Category:范数]]
[[Category:数学恒等式]]
[[Category:四边形]]