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{{NoteTA|G1=物理學}}
{{向量字體常規}}
[[File:Plane wave wavefronts 3D.svg|right|thumb|300px|一個平面波的波前行進於空間。]]

在三維空間裏，'''平面波'''（plane wave）是一種[[波動]]，其[[波阵面]]（在任何時刻，波[[相位]]相等的每一點所形成的曲面）是相互平行的平面。平面波的傳播方向垂直於波前。假若平面波的振幅不是常數，例如，振幅是位置的函數，則稱此種平面波為「非均勻平面波」。<ref name=Hecht2002>{{citation|last =Hecht |first=Eugene|title=Optics|year=2002| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 4th| isbn=0-8053-8566-5 | language=en}}</ref>{{rp|24-27}}

加以延伸，平面波這術語時常用來形容，在空間的一個局部區域裏，近似於平面波的[[波動]]。例如，一個局部區域波源，像發射[[無線電波]]的[[天線]]，所發射出的[[電磁波]]，在{{link-en|遠場區|far-field region}}可以近似為平面波。等價地說，對於在一個均勻[[介質]]內，[[波的傳播]]距離超長於[[波長]]的案例，在[[幾何光學]]的正確極限內，[[射線]]區域性地對應於近似平面波。

==數學表述==

[[File: Wave Sinusoidal Cosine wave sine Blue.svg |thumb|300px| 在时间等于零时，正相移导致波向左移位。]] 
[[File: AC wave Positive direction.gif |thumb|200px|随着t增加，波向右移动，给定点x处的值振荡[[正弦波]]。]]
[[File:Plane Wave 3D Animation 300x216 255Colors.gif|thumb|right|300px|3D平面波的动画。 每种颜色表示波的不同的[[相位]]。]]

用[[數學]]來表述，[[波動方程式]]為
:<math>\nabla^2 f - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0</math> ；

其中，<math>f(\mathbf{x},t) </math> 是描述波動的[[函數]]，<math>\nabla^2</math> 是[[拉普拉斯算符]]，<math>v</math> 是波動傳播的速度，<math>\mathbf{x}</math> 是位置，<math>t</math> 是時間。

描述平面波的[[函數]] <math>\tilde{\psi}(\mathbf{x},t) </math> 是[[波動方程式]]的一種解答：
:<math>\nabla^2 \tilde{\psi} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \tilde{\psi}}{\partial t^2}=0</math> 。

平面波 <math>\tilde{\psi}(\mathbf{x},t) </math> 的形式為：
:<math>\tilde{\psi}(\mathbf{x},t) = \tilde{A} e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)}</math> ；

其中，<math>i</math> 是[[虛數單位]]，<math>\mathbf{k}</math> 是[[波向量]]，<math>\omega=kv</math> 是[[角頻率]]，<math>\tilde{A}</math> 是複值的[[振幅]]純量。

取[[複數|複函數]]的實部，則可以得到其物理意義。
:<math>\operatorname{Re}\{\tilde{\psi}(\mathbf{x},t)\} = |\tilde{A}| \cos (\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t + \arg \tilde{A})</math> 。

注意到在任意時刻 <math>t=t_0 </math> ，波相位不變的曲面滿足方程式
:<math>\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t_0 + \arg \tilde{A}=c_1</math> ，

或者，
:<math>\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}=c_2</math> ；

其中，<math>c_1</math> 、<math>c_2</math> 是任意常數。

所有滿足這方程式的 <math>\mathbf{x}</math> 形成一個與 <math>\mathbf{k}</math> 相互垂直的平面，平行波的波前就是這種平面，所有的波前都與 <math>\mathbf{k}</math> 相互垂直，都相互平行。

對於[[向量]]的波動方程式，像描述在彈性固體內的[[機械波]]或[[電磁波]]的波動方程式：
:<math>\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}=0</math> ，
:<math>\nabla^2 \mathbf{B} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}=0</math> ；

其中，<math>\mathbf{E}</math> 是[[電場]]，<math>\mathbf{B}</math> 是[[磁場]];

解答也很類似：
:<math>\tilde{\boldsymbol{\psi}}(\mathbf{x},\ t)=\tilde{\mathbf{A}}e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)}</math> ；

其中，<math>\tilde{\mathbf{A}}</math> 是複值的振幅向量。

[[横波]]的振幅向量垂直於波向量，像傳播於[[均向性]]介質的電磁波。[[縱波]]的振幅向量平行於波向量，像傳播於氣體或液體的[[聲波]]。

傳播於某[[介質]]內，角頻率與波向量之間的關係，可以以函數 <math>\omega(\mathbf{k})</math> 表達，稱為介質的[[色散關係]]。對於這介質，波的[[相速度]]是 
:<math>v_p=\omega/k</math> ，

[[群速度]]是 
:<math>v_g=\frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}}</math> 。

==  参阅 ==
* [[波动方程]]

== 參考文獻 ==
{{reflist}}
<small>
* J. D. Jackson, ''Classical Electrodynamics'' (Wiley: New York, 1998 )。
</small>

[[Category:振動和波|P]]

[[ru:Монохроматическая волна]]