查看“并集”的源代码

{{noteTA
|1=zh-cn:并集;zh-tw:聯集;zh-hk:併集;
|2=zh-cn:布尔逻辑; zh-hk:布林運算; 
|G1=Math
}} 

[[File:set_union.png|thumb|A和B的并集]]

在[[集合论]]和[[数学]]的其他分支中，一组[[集合 (数学)|集合]]的'''并集'''<ref>{{cite book |author=程极泰 |title=[[集合论]] |year=1985 |publisher=国防工业出版社 |edition=第一版 |series=应用数学丛书 |id=15034.2766 |pages=14}}</ref>，是这些集合的所有元素构成的集合，而不包含其他元素。

== 基本定义 ==

若<math>A</math>和<math>B</math>是集合，则<math>A</math>和<math>B</math>并集是有所有<math>A</math>的元素和所有<math>B</math>的元素，而没有其他元素的集合。<math>A</math>和<math>B</math>的并集通常写作"<math>A \cup B</math>"。形式上：
:<math>x</math>是<math>A \cup B</math>的元素，-{zh-hans:[[当且仅当]]; zh-hant:[[若且唯若]];}-
:*<math>x</math>是<math>A</math>的元素，[[或]]
:*<math>x</math>是<math>B</math>的元素。

举例：
集合<math>\{1, 2, 3\}</math>和<math>\{2, 3, 4\}</math>的并集是<math>\{1, 2, 3, 4\}</math>。数<math>9</math>'''不属于'''[[素数]]集合<math>\{2, 3, 5, 7, 11,\ldots\}</math>和[[偶数]]集合<math>\{2, 4, 6, 8, 10,\ldots\}</math>的并集，因为<math>9</math>既不是素数，也不是偶数。

更通常的，多个集合的并集可以这样定义：
例如，<math>A,B</math>和<math>C</math>的并集含有所有<math>A</math>的元素，所有<math>B</math>的元素和所有<math>C</math>的元素，而没有其他元素。形式上：
:<math>x</math>是<math>A \cup B \cup C</math>的元素，当且仅当<math>x</math>属于<math>A</math>或<math>x</math>属于<math>B</math>或<math>x</math>属于<math>C</math>。

== 代数性质 ==

二元并集（两个集合的并集）是一种[[结合律|结合]]运算，即
:<math>A \cup (B \cup C) =(A \cup B)\cup C</math>。事实上，<math>A \cup B \cup C</math>也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。

相似的，并集运算满足[[交换律]]，即集合的顺序任意。

[[空集]]是并集运算的[[单位元]]。即<math>\varnothing \cup A = A</math>，对任意集合<math>A</math>。可以将空集当作[[0|零]]个集合的并集。

结合[[交集]]和[[补集]]运算，并集运算使任意[[幂集]]成为[[布尔代数]]。例如，并集和交集相互满足[[分配律]]，而且这三种运算满足[[德·摩根律]]。若将并集运算换成[[对称差]]运算，可以获得相应的[[布尔环]]。

== 无限并集 ==

最普遍的概念是：任意集合的并集。若 M 是一个集合的集合，-{zh-hans:[[当且仅当]]; zh-hant:[[若且唯若]];}-[[存在]]<math>M</math>的元素<math>A</math>满足<math>x</math>是<math>A</math>的元素时, <math>x</math>是<math>M</math>的并集的元素。即：

: <math>x \in \bigcup M  \iff \exists A{\in} M , x \in A</math>。

<math>M</math>可以称作集合的[[搜集]]（collection of sets）或者集合空间（system of sets）<ref>{{cite book |author=Karel Hrbacek, Thomas Jech|title=Introduction to Set Theory |year=1999 |publisher=Marcel Dekker, Inc. |edition=3rd |isbn=0-8247-7915-0 |pages=9}}</ref>， <math>M</math>的并集是一个集合，这就是[[公理集合论]]中的[[并集公理|-{zh-hans:并集公理; zh-hant:聯集公理;}-]]。

例如：<math>A \cup  B \cup  C</math>是集合<math>\{A,B,C\}</math>的并集。同时，若 <math>M</math>是空集， <math>M</math>的并集也是空集。有限并集的概念可以推广到无限并集。

上述概念有多种表示方法：

集合论者简单地写
: <math>\bigcup  M </math>，
而大多数人会这样写
: <math>\bigcup_{A\in M } A</math>。
后一种写法可以推广为
: <math>\bigcup_{i\in I} A_{i}</math>，
表示集合<math>\{A_i \ : \ i \in I\} \ </math>的并集。这里<math>I</math>是一个集合，<math>A_{i}</math>是一个<math>i</math>属于<math>I</math>的集合。

在[[索引集]]<math>I</math>是[[自然数]]集合的情况下，上述表示和[[求和]]类似：
: <math>\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}</math>。
同样，也可以写作"<math>A_{1} \cup  A_{2} \cup  A_{3} \cup \ldots</math>".
（这是一个可数的集合的并集的例子，在[[数学分析]]中非常普遍；参见[[σ-代数|<math>\sigma</math> -代数]]）。最后，要注意的是，当符号"<math>\cup</math>"放在其他符号''之前''，而不是''之间''的时候，要写的大一些。

交集在无限并集中满足分配律，即
: <math>\bigcup_{i\in I}\left(A \cap B_{i}\right) = A \cap \bigcup_{i\in I} B_{i}</math>。
结合无限并集和无限交集的概念，可得
: <math>\bigcup_{i\in I}\left(\bigcap_{j\in J} A_{i,j}\right) \subseteq \bigcap_{j\in J}\left(\bigcup_{i\in I} A_{i,j}\right)</math>。

== 参考 ==
* [[朴素集合论]]
* [[交集]]
* [[补集]]
* [[对称差]]
* [[不交并]]
* [[布尔逻辑]]

== 参考文献 ==
<references />

[[Category:抽象代数|B]]
[[Category:集合論基本概念|B]]
[[Category:二元運算|B]]

{{集合论}}