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在[[公理化集合论]]和使用它的[[逻辑]]、[[数学]]和[[计算机科学]]分支中，'''并集公理'''是 [[Zermelo-Fraenkel 集合论]]的[[公理]]之一。它声称对于任何集合<math>A</math>有一个集合<math>B</math>，<math>B</math>的元素正是<math>A</math>的元素的元素。

==形式陈述==
在 Zermelo-Fraenkel 公理的[[形式语言]]中，这个公理读做：
:<math>\forall A, \exist B, \forall x: x \in B \iff (\exist y: x \in y \land y \in A)</math>
换句话说：
:[[全称量化|给定任何]][[集合|集合<math>A</math>]]，[[存在量化|有着]]一个集合<math>B</math>使得，给定任何集合<math>x</math>，<math>x</math>是<math>B</math>的成员，[[当且仅当]]有一个集合<math>y</math>使得<math>x</math>是<math>y</math>的成员[[逻辑合取|并且]]<math>y</math>是[[集合|<math>A</math>]]的成员。

==解释==
因此，这个公理实际上说的是，给定集合[[集合|<math>A</math>]]，我们可以找到一个集合<math>B</math>，它的成员正是[[集合|<math>A</math>]]的成员的成员。通过[[外延公理]]可知这个集合<math>B</math>是唯一的，它叫做[[集合|<math>A</math>]]的[[聯集#無限聯集|聯集]]，并指示为<math>\cup A</math>，所以这个公理的本质是：

:一个集合的并集是一个集合。

[[配对公理]]与并集公理一起蕴涵了对于任何两个集合，都有一个集合精确地包含了这两个集合的元素。[[朴素集合论]]中两个集合的[[并集]]在这里是这两个集合的配对集合的并集，比如集合<math>\{a\}</math>和集合<math>\{b\}</math>，它们的对是<math>\{\{a\},\{b\}\}</math>，这个对的并集是<math>\{a,b\}</math>。

并集公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价命題出现在所有可替代的集合论的[[公理化]]中。

注意'''没有'''对应的[[交集]]公理：<math>\forall A, \exist B, \forall x: x \in B \iff (\forall y:  y \in A \rightarrow x \in y )</math>。如果[[集合|<math>A</math>]]是非空集合，则我们可以使用[[分类公理|分类公理模式]]形成交集 <big>&cap;</big>''A'' 为 <math>\{ x : \forall y (y\in A \rightarrow x \in y) \} </math>，所以不需要单独的交集公理。（如果[[集合|<math>A</math>]]是[[空集]]，则尝试如此形成[[集合|<math>A</math>]]的交集为不被这些公理所允许，如果这样的集合存在，它将包含[[全集]]中所有的集合，而全集的概念对立于 Zermelo-Fraenkel 集合论。）

== 引用 ==
*[[Paul Halmos]], ''Naive set theory''. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
*Jech, Thomas, 2003. ''Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded''.  Springer.  ISBN 3-540-44085-2.
*Kunen, Kenneth, 1980. ''Set Theory: An Introduction to Independence Proofs''. Elsevier.  ISBN 0-444-86839-9.

[[Category:集合论公理]]

{{集合论}}