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{{NoteTA|G1=Math}}
{{群论}}
在[[抽象代數]]此一[[數學]]分支中，'''幺半群'''（{{lang-en|monoid}}，又稱為單群、亞群、具幺半群或四分之三群）是指一個帶有[[結合律|可結合]][[二元運算]]和[[單位元]]的[[代數結構]]。

么半群在許多的數學分支中都會出現。在[[幾何學]]中，幺半群捉取了[[函數複合]]的概念；更確切地，此一概念是從[[範疇論]]中抽象出來的，之中的幺半群是個帶有一個物件的[[範疇]]。幺半群也常被用來當做[[電腦科學]]的堅固代數基礎；在此，[[變換幺半群]]和[[語法幺半群]]被用來描述[[有限狀態自動機]]，而{{le|跡幺半群|Trace monoid}}和{{le|歷史幺半群|History monoid}}則是做為[[進程演算]]和[[並行計算]]的基礎。幺半群的研究中一些較重要的結論有[[克羅恩-羅德斯定理]]和{{le|星高問題|Star height problem}}。

==定義==

'''幺半群'''是一個帶有[[二元運算]] *: ''M'' &times; ''M'' &rarr; ''M'' 的集合 ''M'' ，其符合下列公理：
*[[結合律]]：對任何在 ''M'' 內的''a''、''b''、''c'' ， (''a''*''b'')*''c'' = ''a''*(''b''*''c'') 。
*[[單位元]]：存在一在 ''M'' 內的元素''e''，使得任一於 ''M'' 內的 ''a'' 都會符合 ''a''*''e'' = ''e''*''a'' = ''a'' 。
通常也會多加上另一個公理：
*[[封閉性]]：對任何在 ''M'' 內的 ''a'' 、 ''b'' ， ''a''*''b'' 也會在 ''M'' 內。
但這不是必要的，因為在[[二元運算]]中即內含了此一公理。

另外，幺半群也可以說是帶有[[單位元]]的[[半群]]。

幺半群除了沒有[[逆元素]]之外，滿足其他所有[[群]]的公理。因此，一個帶有逆元素的幺半群和群是一樣的。

=== 生成元和子幺半群===
幺半群 ''M'' 的 '''子幺半群'''是指一個在 ''M'' 內包含著單位元且具封閉性（即若''x'',''y''&isin;''N'' ，則 ''x''*''y''&isin;''N'' ）的子集 ''N''。很明顯地， ''N'' 自身會是個幺半群，在導自 ''M'' 的二元運算之下。等價地說，子幺半群是一個子集 ''N'' ，其中 ''N''=''N''<sup>*</sup> ，且上標 * 為[[克萊尼星號]]。對任一於 ''M'' 內的子集 ''N'' 而言，子幺半群 ''N''<sup>*</sup> 會是包含著 ''N'' 的最小幺半群。

子集 ''N'' 被稱之為 ''M'' 的'''生成元'''，若且唯若 ''M''=''N''<sup>*</sup>。若 ''N'' 是有限的， ''M'' 即被稱為是'''有限生成'''的。

===可交換幺半群===

運算為[[交換律|可交換]]的幺半群稱之為'''可交換幺半群'''（或稱為'''阿貝爾幺半群'''）。可交換幺半群經常會將運算寫成加號。每個可交換幺半群都自然會有一個它自身的'''代數'''[[預序]] &le; ，定義為下： ''x &le; y'' 若且唯若存在 ''z'' 使得 ''x+z=y'' 。可交換幺半群 ''M'' 的'''序單位'''是一個在 ''M'' 內的元素 ''u'' ，其中對任一在 ''M'' 內的元素 ''x'' 而言，總會存在一個正整數 ''n'' 使得 ''x &le; nu''。这经常用在 ''M'' 是[[有序群|偏序阿贝尔群]]  ''G'' 的[[有序群|正锥体]]的情况，在这种情况下我们称 ''u'' 是 ''G'' 的序-单位。有接受任何交换幺半群，并把它变成全资格[[阿贝尔群]]的代数构造；这个构造叫做[[格羅滕迪克群]]。

===部分可交換幺半群===
运算只对某些元素而不是所有元素是交换性的的幺半群是[[跡幺半群]]；跡幺半群通常出现在[[并发计算]]理论中。

==例子==

*每一個[[單元素集合]] {''x''}都可給出一個單元素(當然)幺半群。對定固的''x''，其幺半群是唯一的，當其幺半群公理在此例子必須滿足''x''*''x''=''x''時。
*每一個[[群]]都是幺半群，且每一個[[阿貝爾群]]都是可交換幺半群。
*每一[[半格]]都是[[等冪]]可交換幺半群。
*任一個[[半群]]''S''都可以變成幺半群，簡單地加上一不在''S''內的元素''e''，並定義''ee''=''e''和對任一在''S''內的''s''，''es''=''s''=''se''。
*[[自然數]]'''N'''是加法及乘法上的可交換幺半群。
*以加法或乘法為運算，任何[[單作]][[環]]的元素
**以加法或乘法為運算的[[整數]]、[[有理數]]、[[實數]]及[[複數]]
*以[[矩陣加法]]或[[矩陣乘法]]為運算，所有於一環內''n&times;n''[[矩陣]]所組成的集合
某些固定字母&Sigma;的有限[[字元串]]所組成的集合，會是個以[[字元串|字元串串接]]為運算的幺半群。[[空字元串]]當成單位元。這個幺半群標記為&Sigma;<sup>*</sup>，並稱為在&Sigma;內的'''[[自由幺半群]]'''。
*給定一幺半群''M''，並考慮包含其所有[[子集]]的[[冪集]]''P''(''M'')。這些子集的二元運算可以定義成''S'' * ''T'' = {''s'' * ''t'' : ''s''在''S''內且 ''t''在''T''內}。這使得''P''(''M'')變成了具有單位元{''e''}的幺半群。依同樣的方法，一個群的冪集是一在[[群子集的乘積]]下的幺半群。
*設''S''為一[[集合]]。由所有函數''S'' &rarr; ''S''所組成的集合會是在[[複合函數]]下的幺半群。其單位元為[[恆等函數]]。若''S''為有限的且有''n''個元素，其幺半群也會是有限的，且有''n''<sup>''n''</sup>個元素。
*廣義化上述的例子，設''C''為一[[範疇（數學）|範疇]]且''X''為''C''內的一對象。由''X''所有[[自同態]]組成的集合，標記為End<sub>''C''</sub>(''X'')，是一在[[態射]]複合下的幺半群。更多有關範疇論和幺半群的關係請見下述。
*在[[連通和]]下的[[閉流形]][[同態]][[類 (數學)|類]]所組成的集合，其單位元為一般二維球面類。此外，當''a''標記為[[環面]]類且''b''標記為[[射影平面]]類，此一幺半群的每一個元素''c''都會有一唯一的表示式''c=na+mb''，其中''n''是大於等於零的整數，''m''為0、1或2，且會有''3b=a+b''。
*設''<f>''是一個數為''n''的循環幺半群，亦即<math><f> = \{f^0,f^1,..,f^{n-1}\}</math>。然後，<math>f^n = f^k</math>，其中<math>0 \le k \le n</math>。事實上，不同的''k''會給出不同的幺半群，且每個幺半群都會和另一個[[同構]]。

此外，''f''也可以想成在點<math>{0,1,2,..,n-1}</math>上的函數，給定如下

: <math>\begin{bmatrix} 
0 & 1 & 2 & ... & n-2 & n-1 \\ 
1 & 2 & 3 & ... & n-1 & k\end{bmatrix}</math>

或等價地表示成

:<math>f(i) := \begin{cases} i+1, & \mbox{if }  0 \le i < n-1  \\ k,  & \mbox{if } i = n-1. \end{cases} </math>

<math><f></math>元素間的乘法即由複合函數給定。

注意當<math>k=0</math>時，函數''f''是<math>\{0,1,2,..,n-1\}</math>的置換，並給出個數為''n''的唯一[[循環群]]。

==性質==

在一幺半群內，可以定義一元素''x''的正整數冪：''x''<sup>1</sup>=''x'' 及 ''x''<sup>n</sup>=''x''*...*''x'' (乘上''n''次)，其中''n''>1。冪的規則''x''<sup>n+p</sup>=''x''<sup>n</sup>*''x''<sup>p</sup>則是很明顯的。

由定義可以證明其單位元''e''是唯一的。然後，對任一''x''，可以設''x''<sup>0</sup>為''e''，則其冪的規則在非負冪中依然會是成立的。

''[[逆元素]]''：一元素''x''稱為可逆，若存在一元素''y''，使得''x''*''y'' = ''e''且''y''*''x'' = ''e''。此一元素''y''便稱做''x''的逆元素。結合律使得其逆元素(若存在)是唯一的。

若 ''y''是''x''的逆元素，則可以定義''x''的負冪，以''x''<sup>&minus;1</sup>=''y''及 ''x''<sup>&minus;n</sup>=''y''*...*''y'' (乘上''n''次)，其中''n''>1。如此冪的規則在所有整數就都成立了，這也是為什麼''x''的逆元素通常會寫做''x''<sup>&minus;1</sup>。所有在幺半群''M''內的可逆元素，和其自身的運算可組成一個[[群]]。在這意思之下，每個幺半群都含有一個群。

但並不是每個幺半群都包含在一個群內的。例如，絕對可能有一個幺半群，其兩個元素''a''和''b''會有''a''*''b''=''a''的關係，即使''b''不是單位元。如此的幺半群是不可能包含於一個群內的，
因為在群裡，兩邊一同乘''a''的逆元素，就會得到''b'' = ''e''的結果，但這不是真的。一個幺半群(M,*)若具有[[消去性]]，即表示對任何在''M''內的''a''、''b''、''c''，''a''*''b'' = ''a''*''c''永遠意指''b'' = ''c''且''b''*''a'' = ''c''*''a''也永遠意指''b'' = ''c''。一具有消去性的可交換幺半群總是可以包含於一個群內。這是為什麼整數(加法運算下的群)可以由自然數(具有消去性的加法運算下的可交換幺半群)建立。但一具有消去性的不可交換幺半群則一定不可能包含於一個群之中。

若一幺半群有消去性且是有限的，它會是一個群。

一可逆幺半群為一幺半群，其任一在''M''內的''a''，總存在一唯一在''M''內的a<sup>-1</sup>，使得a=aa<sup>-1</sup>a且a<sup>-1</sup>=a<sup>-1</sup>aa<sup>-1</sup>。

一幺半群''G''的子幺半群是''G''的子集''H''，其包含有單位元，且若''x''、''y''屬於''H''，則''xy''屬於''H''。很清楚地，''H''本身也是個幺半群，在''G''的二元運算之下。

==作用和算子幺半群==
{{main|幺半群作用}}
'''[[算子幺半群]]'''是一作用在集合''X''上的幺半群''M''。亦即，存在一運算$ : ''M'' &times; ''X'' &rarr; ''X''符合幺半群的運算。
*對任一在''X''內的''x''：''e$x=x''。
*對任何在''M''內的''a''、''b''及在''X''內的''x''：''a $ (b $ x) = (a * b) $ x''。) = (a * b) &bull; x''.

運算子幺半群也叫做'''作用'''(因为它们类似于[[群作用]]), 转移系统, [[半自动机]]或变换半群。

==幺半群同態==

兩個幺半群(''M'', *)和(''M''&prime;, @)之間的[[同態]]是一個函數''f'' : ''M'' &rarr; ''M''&prime;，會有如下兩個性質：
* ''f''(''x''*''y'') = ''f''(''x'')@''f''(''y'') 對所有在''M''內的''x''和''y''
* ''f''(''e'') = ''e''&prime;
其中''e''和''e''&prime;分別是''M''和''M''&prime;的單位元。

不是每一個[[群胚]]同態都會是個幺半群同態，因為它不一定會維持單位元。和上述不同，[[群同態]]的情況則會成立：[[群論]]的公理確保每一兩群之間的群胚同態都會維持住單位元。對於幺半群，這不是永遠成立的，而必須有另外的要求。

[[雙射函數|雙射]]幺半群同態稱做幺半群[[同構]]。

== 幺半群同余和商幺半群==

'''幺半群同余'''是相容于幺半群乘积的[[等价关系]]。就是说它是子集

:<math>\sim\;\subseteq M\times M</math>

使得它是自反的、对称的和传递的(如同所有等价关系必须的那样)，还要有如果 <math>x\sim y\,</math> 且 <math>u\sim v\,</math> 对于所有 ''M'' 中的 <math>x,y,u</math> 和 <math>v</math>，则有 <math>x*u\sim y*v\,</math> 的性质。

幺半群同余引发[[同余类]]

:<math>[m] = \{x\in M\vert\; x\sim m\}</math>

而幺半群运算 * 引发在同余类上的二元运算 <math>\circ</math>: 

:<math>[u]\circ [v] = [u*v]</math>

它是幺半群同态。它明显的也是结合的，所以所有同余类的集合也是幺半群。这个幺半群叫做'''商幺半群'''，可以写为

:<math>M/\sim\; = \{[m]\,\vert\; m\in M\}</math>

一些额外的符号是公用的。给定子集 <math>L\subseteq M</math>，写

:<math>[L] = \{[m] \,\vert\; m\in L\}</math>

对于引发自 ''L'' 的同余类的集合。在这个表示法中，明显的 <math>[M]=M/\sim \,</math>。但是一般的说，<math>[L] \,</math> 不是幺半群。走相反的方向，如果 <math>X\subseteq [M]</math> 是商幺半群的子集，写

:<math>\bigcup X = \{m \,\vert\; [m]\in X\}</math>

当然这只是 ''X'' 的成员的[[并集]]。一般的说，<math>\bigcup X</math> 不是幺半群。

明显的有 <math>L\subseteq \bigcup[L]</math> 且 <math>\left[\bigcup X\right]=X</math>。

==和範疇論的關係==
{{Template:Group-like structures}}
幺半群可視之為一類特殊的[[範疇論|範疇]]。幺半群運算滿足的公理同於範疇中從一個對象到自身的態射。換言之：
: ''幺半群實質上是只有單個對象的範疇。

精確地說，給定一個幺半群 (''M'',*)，可構造一個只有單個對象的小範疇，使得其態射由 ''M'' 的元素給出，而其合成則由 幺半群的運算 * 給出。

同理，幺半群之間的同態不外是這些範疇間的函子。就此意義來說，範疇論可視為是幺半群概念的延伸。許多關於幺半群的定義及定理皆可推廣至小範疇。

幺半群一如其它代數結構，本身也形成一個範疇，記作 '''Mon'''，其對象是幺半群而態射是幺半群的同態。

範疇論中也有[[么半對象]]的概念，它抽象地定義了何謂一個範疇中的幺半群。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
* John M. Howie, ''Fundamentals of Semigroup Theory'' (1995), Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-851194-9

==外部链接==
* {{springer|title=Monoid|id=p/m064740}}
* {{MathWorld |urlname = Monoid |title = Monoid}}
* {{PlanetMath|urlname = Monoid |title = Monoid |id = 389}}

{{-}}
{{ModernAlgebra}}

[[Category:範疇論|I]]
[[Category:半群论|I]]
[[Category:範疇論中的範疇|I]]
[[Category:代数结构|I]]