查看“幾何分佈”的源代码

{{Probability distribution two
| name = 幾何分佈
| type = 质量
| pdf_image = [[File:geometric pmf.svg|450px]]
| cdf_image = [[File:geometric cdf.svg|450px]]
| parameters = <math>0< p \leq 1</math>成功概率（[[实数|实]]）
| support = <math>k \in \{1,2,3,\dots\}\!</math>
| pdf = <math>(1 - p)^{k-1}\,p\!</math>
| cdf = <math>1-(1 - p)^k\!</math>
| mean = <math>\frac{1}{p}\!</math>
| median = <math>\left\lceil \frac{-1}{\log_2(1-p)} \right\rceil\!</math>（如果<math>-1/\log_2(1-p)</math>是整数，则中位数不唯一）
| mode = <math>1</math>
| variance = <math>\frac{1-p}{p^2}\!</math>
| skewness = <math>\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\!</math>
| kurtosis = <math>6+\frac{p^2}{1-p}\!</math>
| entropy = <math>\tfrac{-(1-p)\log_2 (1-p) - p \log_2 p}{p}\!</math>
| mgf = <math>\frac{pe^t}{1-(1-p) e^t}\!</math>,    <br>   <big> <big>for</big></big> <math>t<-\ln(1-p)\!</math>
| char = <math>\frac{pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}\!</math>
| parameters2 = <math>0< p \leq 1</math>成功概率（[[实数|实]]）
| support2 = <math>k \in \{0,1,2,3,\dots\}\!</math>
| pdf2 = <math>(1 - p)^{k}\,p\!</math>
| cdf2 = <math>1-(1 - p)^{k+1}\!</math>
| mean2 = <math>\frac{1-p}{p}\!</math>
| median2 = <math>\left\lceil \frac{-1}{\log_2(1-p)} \right\rceil\! - 1</math>（如果<math>-1/\log_2(1-p)</math>是整数，则中位数不唯一）
| mode2 = <math>0</math>
| variance2 = <math>\frac{1-p}{p^2}\!</math>
| skewness2 = <math>\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\!</math>
| kurtosis2 = <math>6+\frac{p^2}{1-p}\!</math>
| entropy2 = <math>\tfrac{-(1-p)\log_2 (1-p) - p \log_2 p}{p}\!</math>
| mgf2 = <math>\frac{p}{1-(1-p)e^t}\!</math>
| char2 = <math>\frac{p}{1-(1-p)\,e^{it}}\!</math>
}}
在[[概率论]]和[[统计学]]中，'''幾何分佈'''（{{lang-en|Geometric distribution}}）指的是以下两种離散型[[機率分佈|-{A|zh-hans:概率分布;zh-tw:機率分佈}-]]中的一种：

* 在[[伯努利試驗]]中，得到一次成功所需要的試驗次数''X''。''X''的值域是{ 1, 2, 3, ... }

* 在得到第一次成功之前所经历的失败次数''Y'' = ''X'' − 1。''Y''的值域是{ 0, 1, 2, 3, ... }

实际使用中指的是哪一个取决于惯例和使用方便。

这两种分布不应该混淆。前一种形式（''X''的分布）经常被称作''shifted'' geometric distribution；但是，为了避免歧义，最好明确地说明取值范围。

如果每次试验的成功概率是''p''，那么''k''次试验中，第''k''次才得到成功的概率是，

:<math>\Pr(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p\,</math>

其中''k'' = 1, 2, 3, ....

上式描述的是取得一次成功所需要的试验次数。而另一种形式，也就是第一次成功之前所失败的次数，可以写为，

:<math>\Pr(Y=k) = (1 - p)^k\,p\,
</math>

其中''k'' = 0, 1, 2, 3, ....

两种情况产生的序列都是[[等比数列|几何数列]]。

比如，假设不停地掷[[骰子]]，直到得到''1''。投掷次数是随机分布的，取值范围是无穷集合{ 1, 2, 3, ... }，并且是一个''p'' = 1/6的几何分布。

==性质==

呈几何分布的随机变量''X''的[[期望值]]是1/''p''，[[方差]]是 （1-''p'')/''p''<sup>2</sup>:

:<math>\mathrm{E}(X) = \frac{1}{p},
 \qquad\mathrm{var}(X) = \frac{1-p}{p^2}.</math>

类似的，呈几何分布

==记号==
若随机变量<math>\mathit{X}</math>服从参数为<math>\mathit{p}</math>的几何分布，则记为<math>X \sim G(p)</math>.

==用途==
在重复多次的[[伯努利試驗]]中，试验进行到某种结果出现第一次为止，此时的试验总次数服从几何分布，如：射击，首次击中目标时的次数。

== 參見 ==
* [[機率分佈]]

{{常见一元概率分布}}
{{概率分布类型列表}}

[[Category:离散分布|J]]