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'''广义超几何函数'''（'''generalized hypergeometric function'''），有时也称'''超几何函数'''，是一个用[[幂级数]]定义的函数，其中幂级数的系数由若干个[[阶乘幂#上升阶乘幂|升阶乘]]的积和商给出。下文中用“超几何函数”一词代指广义超几何函数，而用“[[超几何函数|高斯超几何函数]]”一词代指 {{mvar|p}}=2, {{mvar|q}}=1 时的广义超几何函数。

==定义与记号==
超几何函数是用幂级数定义的：
:<math>\beta_0 + \beta_1 \frac z{1!} + \beta_2 \frac{z^2}{2!} + \dots = \sum_{n \geqslant 0} \beta_n \frac{z^n}{n!}</math>

其中相邻两项的系数之比 {{mvar|β}}<sub>{{mvar|n}}+1</sub>/{{mvar|β}}<sub>{{mvar|n}}</sub> 是关于 {{mvar|n}} 的[[有理函数]]，分子和分母都可以表示成若干个一次函数的乘积。一般要求分子和分母的多项式的最高次系数均为 1，并取 {{mvar|β}}<sub>0</sub>=1，于是
:<math>\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n}=\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{\prod_{i=1}^p(a_i+n)}{\prod_{i=1}^q(b_i+n)},\quad\forall n\geqslant0</math>

于是用[[阶乘幂]]可以将 {{mvar|β}}<sub>{{mvar|n}}</sub> 表示为
:<math>\beta_n=\frac{\prod_{i=1}^p(a_i)^{(n)}}{\prod_{i=1}^q(b_i)^{(n)}}</math>

一般用下面的记号来表示超几何函数：
:<math>_pF_q(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_p;b_1,b_2,b_3,\ldots,b_q;z)=\ _pF_q\left[
\begin{matrix}a_1&a_2&a_3&\ldots&a_p\\b_1&b_2&b_3&\ldots&b_q\end{matrix};z\right]=
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\prod_{i=1}^p(a_i)^{(n)}}{\prod_{i=1}^q(b_i)^{(n)}}\frac{z^n}{n!}</math>

当 {{mvar|a}}<sub>{{mvar|i}}</sub> 都不是非正整数（即负整数和 0）时，要求所有的 {{mvar|b}}<sub>{{mvar|i}}</sub> 都不是非正整数。当有至少一个 {{mvar|a}}<sub>{{mvar|i}}</sub> 是非正整数，且其中最大（绝对值最小）者为 {{mvar|k}} 时，超几何函数将截断为 {{mvar|-k}} 次多项式，这时允许 {{mvar|b}}<sub>{{mvar|i}}</sub> 中存在非正整数，但要求这些非正整数都小于 {{mvar|k}}。这都是为了保证在所有的 {{mvar|β}}<sub>{{mvar|n}}</sub>中，分母不为零。

== 敛散性 ==
下面讨论用来定义超几何函数的幂级数以零为中心的收敛半径。

当超几何函数截断为多项式时，显然[[收敛半径]]是[[无穷大]]。

除去这种特殊情况之外，用[[比值审敛法]]可知，当 {{mvar|p}}<{{mvar|q}}+1 时，收敛半径为无穷大，当 {{mvar|p}}={{mvar|q}}+1 时，收敛半径为 1，剩下的情况收敛半径为 0（这时一般把超几何函数中对应的幂级数视作渐近级数，而函数本身则采用其它方式定义，如积分表达式）。

当级数的收敛半径为 1 时，级数在单位圆外不收敛，但仍然可以通过解析延拓来定义超几何函数的值。另外，此时在单位圆上的敛散性较为复杂，不能使用比值审敛法，必须使用高斯审敛法来判断，结果如下，令
:<math>\gamma_q=\sum_{k=1}^q b_k-\sum_{k=1}^p a_k,\quad r=\Re(\gamma_q)</math>

则
* 当 {{mvar|r}}>0 时，级数在单位圆上[[绝对收敛]]；
* 当 0≥{{mvar|r}}>-1 时，级数在单位圆上除 {{mvar|z}}=1 外收敛，但不绝对收敛；
* 当 -1≥{{mvar|r}} 时，级数在单位圆上发散。

== 积分表达式 ==
复平面上的路径积分可以用来定义所有 {{mvar|a}}<sub>{{mvar|k}}</sub> 都不是非正整数时的广义超几何函数，包括上面说到的 {{mvar|p}}≥{{mvar|q}}+1 的情形。

下面只介绍 {{mvar|p}}+1>{{mvar|q}} 且级数不截断为多项式的情形（其它情形下，上面的幂级数定义已经是良好的定义，而下面的积分不收敛），这时超几何函数可以定义为：

:<math>\left(\prod_{k=1}^p\Gamma(a_k)\right/\left.\prod_{k=1}^q\Gamma(b_k)\right)\,{}_pF_q\left[
\begin{matrix}a_1&a_2&a_3&\ldots&a_p\\b_1&b_2&b_3&\ldots&b_q\end{matrix};z\right]=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{+i\infty}
\left(\prod_{k=1}^p\Gamma(a_k+s)\right/\left.\prod_{k=1}^q\Gamma(b_k+s)\right)\Gamma(-s)(-z)^s\mathrm ds</math>

当 {{mvar|p}}={{mvar|q}} 且级数不截断为多项式时，超几何函数既可以用上面的积分来定义，也可以用超几何级数定义。可以证明，两种定义是等价的，且定义出来的超几何函数都是[[整函数]]；

当 {{mvar|p}}={{mvar|q}}+1 且级数不截断为多项式时，超几何函数既可以用上面的积分来定义，也可以用超几何级数定义，但级数定义只在 |{{mvar|z}}|<1 时有效，在这个区域内，两种定义是等价的，上式提供了级数定义的一个解析延拓；

当 {{mvar|p}}>{{mvar|q}}+1 且级数不截断为多项式时，超几何函数只能通过积分表达式定义，对应的超几何级数只在 {{mvar|z}} =0 处收敛，其它情况均发散，它是积分定义的超几何函数在 {{mvar|z}}=0 处的渐近级数，即

:<math>_pF_q\left[\begin{matrix}a_1&a_2&a_3&\ldots&a_p\\b_1&b_2&b_3&\ldots&b_q\end{matrix};z\right]\approx \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\prod_{i=1}^p(a_i)^{(n)}}{\prod_{i=1}^q(b_i)^{(n)}}\frac{z^n}{n!},\quad p>q+1, z\rightarrow 0, |\arg z|<(p+1-q)\frac\pi2</math>

== 超几何函数的性质 ==
=== 特殊值 ===
:<math>
{}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\ldots,a_p \\ b_1,\dots,b_q\end{array} ;0\right]=1</math>
=== 欧拉积分变换 ===
:<math> {}_{p+1}F_{q+1}\left[ 
\begin{array}{c}
a_{1},\ldots ,a_p,c \\ 
b_{1},\ldots ,b_q,d
\end{array}
;z\right] =\frac{\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}
\int_{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{{}}^{d-c-1}\ {}_pF_q\left[ 
\begin{array}{c}
a_{1},\ldots ,a_p \\ 
b_{1},\ldots ,b_q
\end{array} ; tz\right]  dt</math>

=== 导函数 ===
:<math>\begin{align}
\left (z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + a_j \right ){}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_j,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_q\end{array} ;z\right] &= a_j \; {}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_j+1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_q \end{array} ;z\right] \\

\left (z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + b_k - 1 \right ){}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_k,\dots,b_q\end{array} ;z\right] &= (b_k - 1) \; {}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_k-1,\dots,b_q \end{array} ;z \right] \\
\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} \; {}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_q \end{array} ;z \right] &= \frac{\prod_{i=1}^p a_i}{\prod_{j=1}^q b_j}\; {}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1+1,\dots,a_p+1 \\ b_1+1,\dots,b_q+1 \end{array} ;z \right]
\end{align}</math>

由上面三个关系式可以得到超几何函数满足的微分方程：
:<math>z\prod_{n=1}^{p}\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + a_n\right)w = z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}\prod_{n=1}^{q}\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + b_n-1\right)w,\quad w(z)={}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_q\end{array} ;z\right]</math>.

== 特例 ==
=== <sub>0</sub>{{mvar|F}}<sub>0</sub> ===
就是[[指数函数]]。
:<math>{}_0F_0(;;z) = e^z</math>
=== <sub>1</sub>{{mvar|F}}<sub>0</sub> ===
:<math>{}_1F_0(a;;z) = (1-z)^{-a}.</math> 
=== <sub>0</sub>{{mvar|F}}<sub>1</sub> ===
称为合流超几何极限函数（confluent hypergeometric limit functions），与[[贝塞尔函数]]有密切关联。
:<math>J_\alpha(x)=\frac{(\tfrac{x}{2})^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}\cdot{}_0F_1\left  (;\alpha+1; -\tfrac{1}{4}x^2 \right ).</math> 
=== <sub>1</sub>{{mvar|F}}<sub>1</sub> 和 <sub>2</sub>{{mvar|F}}<sub>0</sub> ===
{{main|合流超几何函数}}
<sub>1</sub>{{mvar|F}}<sub>1</sub> 就是（第一类）[[合流超几何函数]]，也称 Kummer 函数。
:<math>{}_1F_1(a;b;z)=M(a;b;z)</math>

另一方面，<sub>2</sub>{{mvar|F}}<sub>0</sub> （此函数必须通过积分表达式定义）与第二类合流超几何函数有如下关系：
:<math>U(a,b,z)=z^{-a}\cdot{}_2F_0(a,a-b+1;;-z^{-1})</math>

事实上，它们都可以表示为高斯超几何函数的极限，
:<math>{}_1F_1(a;c;z)=\lim_{b\rightarrow\infty}{}_2F_1(a,b;c;z/b)</math>
:<math>{}_2F_0(a,b;;z)=\lim_{c\rightarrow\infty}{}_2F_1(a,b;c;cz)</math>

类似地，<sub>{{mvar|p}}</sub>{{mvar|F}}<sub>{{mvar|q}}</sub> 都可以表示成 <sub>{{mvar|p}}+1</sub>{{mvar|F}}<sub>{{mvar|q}}</sub> 或 <sub>{{mvar|p}}</sub>{{mvar|F}}<sub>{{mvar|q}}+1</sub> 的极限。

=== <sub>2</sub>{{mvar|F}}<sub>1</sub> ===
{{main|超几何函数}}
就是高斯超几何函数，一般又简称超几何函数。

=== 多重对数函数 ===
{{main|多重对数函数}}
当 {{mvar|s}} 为非负整数时，[[多重对数函数]] Li<sub>{{mvar|s}}</sub> 可以用超几何函数表示：
:<math>\mathrm{Li}_s(z)=z\cdot{}_{s+1}F_s\left[ \begin{array}{c} 1,\ldots,1 \\ 2,\dots,2\end{array} ;z\right]</math>

==参考==
* {{dlmf|id=16|first1=R. A.|last1=Askey|first2=Adri B. Olde|last2= Daalhuis|title=Generalized Hypergeometric Functions and Meijer {{mvar|G}}-Function}}
* {{cite arXiv|last=Dereziński|first=Jan|title=Hypergeometric type functions and their symmetries|eprint=1305.3113}}

[[Category:阶乘与二项式主题]]
[[Category:超幾何函數]]
[[Category:常微分方程]]
[[Category:级数]]