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'''庞特里亚金最大化原理'''（Pontryagin's maximum principle）也根据使用条件稱為'''庞特里亚金最小化原理'''或'''最大值原理'''及'''最小值原理'''，是[[最优控制]]中的理論，是在狀態或是輸入控制項有限制條件的情形下，可以找到將[[动力系统]]由一個狀態到另一個狀態的最優控制信號。此理論是蘇俄數學家[[列夫·庞特里亚金]]及他的學生在1956年提出的<ref>參考資料中有最早發表的論文</ref>。這是[[变分法]]中[[歐拉-拉格朗日方程]]的特例。

簡單來說，此定理是指在所有可能的控制中，需讓「控制哈密頓量」（control Hamiltonian）取極值，極值是最大值或是最小值則依問題以及哈密頓量的符號定義而不同。正式的用法，也就是[[哈密頓量_(最佳控制)|哈密頓量]]中所使用的符號，會取到最大值，但是此條目中使用的符號定義方式，會讓極值取到最小值。

若<math>\mathcal{U}</math>是所有可能控制值的集合，則此原理指出，最優控制<math>u^*</math>必須滿足以下條件：
:<math>H(x^*(t),u^*(t),\lambda^*(t),t) \leq H(x^*(t),u,\lambda^*(t),t), \quad \forall u \in \mathcal{U}, \quad t \in [t_0, t_f]</math>
其中<math>x^*\in C^1[t_0,t_f]</math>是最佳狀態軌跡，而<math>\lambda^* \in BV[t_0,t_f]</math>是最佳 [[協態方程|協態]]軌跡<ref>在[[光滑函数|C<sup>1</sup>]]及[[有界变差|BV]]空間條目中有更多的資訊</ref>

此結果最早成功的應用在輸入控制有限制條件的最小時間問題中，不過也可以用在狀態有限制條件的問題中。

也可以推導控制哈密頓量的特殊條件。若最終時間<math>t_f</math>固定，且控制哈密頓量不是時間的顯函數<math>\left(\tfrac{\partial H}{\partial t} \equiv 0\right)</math>，則：
:<math>H(x^*(t),u^*(t),\lambda^*(t)) \equiv \mathrm{constant}\,</math>
若最終時間沒有限制，則：
:<math>H(x^*(t),u^*(t),\lambda^*(t)) \equiv 0.\,</math>
<!--More general conditions on the optimal control are given below.--->

若在某一軌跡上滿足庞特里亚金最大化原理，此原理是最佳解的[[必要条件]]。[[哈密顿-雅可比-贝尔曼方程]] 提供了最佳解的[[充份必要條件]]，但該條件須在整個狀態空間中都要成立。

==最大化和最小化==
此定理一開始的名稱是庞特里亚金最大化原理（Pontryagin's maximum principle），其證明也是以控制哈密頓量最大化為基礎。此原理最早的應用是要最大化火箭的終端速度。不過後來此定理大部份的應用是使性能指標最小化，因此常稱為庞特里亚金最小化原理。庞特里亚金的書解出了要讓性能指標最小化的問題<ref>參照 Pontryagin 1962年的書，第13頁</ref>

==符號==
以下的內容會使用這些表示方式
:<math>
\Psi_T(x(T))= \frac{\partial \Psi(x)}{\partial T}|_{x=x(T)} \,
</math>

:<math>
\Psi_x(x(T))=\begin{bmatrix} \frac{\partial
\Psi(x)}{\partial x_1}|_{x=x(T)} & \cdots & \frac{\partial
\Psi(x)}{\partial x_n} |_{x=x(T)}
\end{bmatrix}
</math>

:<math>
H_x(x^*,u^*,\lambda^*,t)=\begin{bmatrix} \frac{\partial H}{\partial x_1}|_{x=x^*,u=u^*,\lambda=\lambda^*}
& \cdots & \frac{\partial H}{\partial x_n}|_{x=x^*,u=u^*,\lambda=\lambda^*}
\end{bmatrix}
</math>

:<math>
L_x(x^*,u^*)=\begin{bmatrix} \frac{\partial L}{\partial x_1}|_{x=x^*,u=u^*}
& \cdots & \frac{\partial L}{\partial x_n}|_{x=x^*,u=u^*}
\end{bmatrix}
</math>

:<math>
f_x(x^*,u^*)=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}|_{x=x^*,u=u^*} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}|_{x=x^*,u=u^*} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}|_{x=x^*,u=u^*} &
\ldots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}|_{x=x^*,u=u^*}
\end{bmatrix}
</math>

==最小化問題必要條件的正式敘述==
以下是讓泛函最小化的必要條件。令<math>x</math>為在輸入為<math>u</math>時，[[動態系統]]的狀態，且滿足以下條件
:<math>
\dot{x}=f(x,u), \quad x(0)=x_0, \quad u(t) \in \mathcal{U}, \quad t \in
[0,T]
</math>
其中
:<math>\mathcal{U}</math>為可行控制的集合
:<math>T</math>為系統的結束時間。

控制<math>u \in \mathcal{U}</math>需在所有<math>t \in [0,T]</math>內使目標泛函<math>J</math>最小化，目標泛函<math>J</math>隨應用而定，可以寫成

:<math>
J=\Psi(x(T))+\int^T_0 L(x(t),u(t)) \,dt
</math>

系統動態的限制可以用導入時變[[拉格朗日乘数]]向量<math>\lambda</math>的方式和[[拉格朗日力学|拉格朗日量]]<math>L</math>相加，而拉格朗日乘数向量<math>\lambda</math>的元素稱為系統的協態（costate）。因此可以建構在所有 <math>t \in [0,T]</math>的[[哈密頓量_(最佳控制)|哈密頓量]]為：
:<math>
H(x(t),u(t),\lambda(t),t)=\lambda^{\rm T}(t)f(x(t),u(t))+L(x(t),u(t)) \,
</math>
其中<math>\lambda^{\rm T}</math>是<math>\lambda</math>的轉置。

庞特里亚金最小化原理提到最佳狀態軌跡<math>x^*</math>，最佳控制<math>u^*</math>及對應的拉格朗日乘数向量<math>\lambda^*</math>必需最小化哈密頓量<math>H</math>，因此

:<math>
(1) \qquad H(x^*(t),u^*(t),\lambda^*(t),t)\leq H(x^*(t),u,\lambda^*(t),t) \,
</math>

針對所有<math>t \in [0,T]</math>時間，也針對所有可能的控制輸入<math>u \in \mathcal{U}</math>。以下的式子也必須成立

:<math>
(2) \qquad \Psi_T(x(T))+H(T)=0 \,
</math>

而且也要滿足以下的[[協態方程]]

:<math>
(3) \qquad -\dot{\lambda}^{\rm T}(t)=H_x(x^*(t),u^*(t),\lambda(t),t)=\lambda^{\rm T}(t)f_x(x^*(t),u^*(t))+L_x(x^*(t),u^*(t))
</math>

若最終狀態<math>x(T)</math>沒有固定（其微分變異不為0），最終協態也要滿足以下條件

:<math>
(4) \qquad \lambda^{\rm T}(T)=\Psi_x(x(T)) \,
</math>

上述(1)-(4)的條件是最佳控制的必要條件。公式(4)只有在<math>x(T)</math>沒有固定時才需要成立。若<math>x(T)</math>是固定值，公式(4)不在必要條件中。

此解法可以應用在宇宙學和天體物理學中 <ref>{{cite journal |first=S. |last=Haggag|first2=F. |last2=Desokey|first3=M., |last3=Ramadan   |title=A cosmological inflationary model using optimal control |journal= Gravitation and Cosmology|location= |publisher=Pleiades Publishing| |volume=23 |issue=3 |pages=236–239 |year=2017 |ISSN=1995-0721 | doi=10.1134/S0202289317030069 }}</ref>。

==相關條目==
* {{le|巴拿赫空间下的拉格朗日乘数|Lagrange multipliers on Banach spaces}}，變分法下中的拉格朗日法
==腳註==
{{reflist}}
==參考資料==
* {{cite journal |first=V. G. |last=Boltyanskii |first2=R. V. |last2=Gamkrelidze |first3=L. S. |last3=Pontryagin |script-title=ru:К теории оптимальных процессов |trans-title=Towards a Theory of Optimal Processes |journal=Dokl. Akad. Nauk SSSR |volume=110 |issue=1 |pages=7–10 |year=1956 |mr=0084444 |language=ru}}
* {{cite book |last=Pontryagin |first=L. S. |last2=Boltyanskii |first2=V. G. |last3=Gamkrelidze |first3=R. V. |last4=Mishchenko |first4=E. F. |title=The Mathematical Theory of Optimal Processes |others=English translation |publisher=Interscience |year=1962 |isbn=2-88124-077-1 }}
* {{cite journal |last=Fuller |first=A. T. |title=Bibliography of Pontryagin's maximum principle |journal=J. Electronics & Control |volume=15 |issue=5 |year=1963 |pages=513–517 }}
* {{cite book |last=Kirk |first=D. E. |title=Optimal Control Theory: An Introduction |location= |publisher=Prentice Hall |year=1970 |isbn=0-486-43484-2 }}
* {{cite book |last=Sethi |first=S. P. |last2=Thompson |first2=G. L. |title=Optimal Control Theory: Applications to Management Science and Economics |edition=2nd |location= |publisher=Springer |year=2000 |isbn=0-387-28092-8 }} Slides are available at [http://www.utdallas.edu/~sethi/OPRE7320presentation.html]
* {{cite book |last=Geering |first=H. P. |title=Optimal Control with Engineering Applications |location= |publisher=Springer |year=2007 |isbn=978-3-540-69437-3 }}
* {{cite book |last=Ross |first=I. M. |title=A Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control |location= |publisher=Collegiate |year=2009 |isbn=978-0-9843571-0-9 }}
* {{cite book |last=Cassel |first=Kevin W. |title=Variational Methods with Applications in Science and Engineering |location= |publisher=Cambridge University Press |year=2013 |isbn= }}

==外部連結==
* {{springer|title=Pontryagin maximum principle|id=p/p073780}}

[[Category:數學最佳化]]
[[Category:最佳控制]]
[[Category:原則]]
[[Category:变分法]]

[[fr:Commande optimale#Principe du maximum]]
[[ru:Оптимальное управление#Принцип максимума Понтрягина]]