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{{NoteTA|G1=Math}}
'''弗罗贝尼乌斯定理'''指出（<math>C^1</math>光滑的情况）：

''U''为'''R'''<sup>''n''</sup>的开集，''F''是''&Omega;<sup>1</sup>(U)''的[[常数阶]]''r''阶的[[子模]]。则''F''[[可积]]当且仅当对每个''p &isin; U''茎(stalk)''F<sub>p</sub>''由''r''个[[恰当微分形式]]给出。

几何上来看，它说每个1-形式的''r''阶可积模和一个余维为r的[[层]]相同。这是研究[[向量场]]和层理论的基本工具之一。

这个结论在解析1-形式和和乐情况下也成立，但要把''R''换成''C''。它可以推广到高阶的微分形式，在有些条件下，也可以推广到有奇点的情况。

也有用向量场表达的定理。存在和如下向量场相切的''V''的[[子流形]]的充分条件
:''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>''r''</sub>, 
可以表达为任意两个场的[[李括号]]
:[''X''<sub>''i''</sub>,''X''<sub>''j''</sub>]
包含在这些场撑成的空间中。因为李括号可在子空间上取，这个条件也是''必要''的。定理的这两种表述是因为李括号和[[外微分]]是相关的。

上面最后这个表述可以用来表明向量场在流形上的可积性。定理的这个变种表明流形''M''上的任何光滑向量场''X''可以积分，得到一个单参数族的曲线。这个可积性是因为定义曲线的方程是一阶[[常微分方程]]，所以可积性有[[皮卡-林德洛夫定理]]保证。


==参见==
* [[微分系统的可积性条件]]

==参考==
* [[Ralph Abraham]] and Jerrold E. Marsden, ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X ''See theorem 2.2.26''.

[[Category:微分几何|F]]
[[Category:微分拓扑学]]
[[Category:数学定理|F]]