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在[[拓扑学]]中,'''收缩'''({{lang|en|retraction}}),顾名思义是将整个[[空间 (数学)|空间]]收缩到一个[[子空间]];'''形变收缩'''({{lang|en|deformation retraction}})是将空间“连续收缩”成一个子空间的[[连续函数 (拓扑学)|映射]]。 == 定义 == === 收缩 === 设 ''X'' 是一个[[拓扑空间]],''A'' 是 ''X'' 的一个子空间。那么连续映射 :<math>r:X \to A</math> 是一个收缩如果 ''r'' 在 ''A'' 上的[[函数#限制与延拓|限制]]是 ''A'' 上的[[恒等映射]];这就是说,''r''(''a'') = ''a'' 对所有 ''a'' 属于 ''A''。等价地,记 :<math>\iota : A \hookrightarrow X</math> 为包含,一个收缩是一个连续映射 ''r'' 使得 :<math>r \circ \iota = id_A,</math> 即 ''r'' 与 包含的复合是 ''A'' 的恒等。注意,由定义,一个收缩映射 ''X'' [[满射|映满]] ''A''。如果存在收缩映射,则子空间 ''A'' 称为 ''X'' 的一个'''收缩核'''({{lang|en|retract}})。例如,任何空间以显然的方式收缩到一点(取常数映射为收缩)。 如果 ''X'' 嵌入任何[[正规空间]] ''Y'',作为 ''Y'' 的闭子集,''X'' 是 ''Y'' 的收缩核,则空间 ''X'' 称为'''绝对收缩核'''(或 '''AR''')。 === 邻域收缩 === 如果存在一個[[開集]] ''U'' 使得 :<math>A \subset U \subset X</math> 且 ''A'' 是 ''U'' 的一個收縮核,則 ''A'' 稱為 ''X'' 的一個'''鄰域收縮核'''。 如果空間 ''X'' 閉嵌入任何正規空間 ''Y''中,''X'' 是 ''Y'' 的一個鄰域收縮核,稱為 ''X'' 為一個'''絕對鄰域收縮核'''(或 '''ANR''')。 === 形变收缩与强形变收缩 === 称连续映射 :<math>d:X \times [0, 1] \to X</math> 是一个'''形变收缩''',如果对任何''x'' 属于 ''X'' 及 ''a'' 属于 ''A'' 有 :<math> d(x,0) = x, \; d(x,1) \in A </math>,以及 <math> d(a,1) = a.</math> 换句话说,形变收缩是收缩与 ''X'' 上恒等映射的[[同伦]]。子空间 ''A'' 称为 ''X'' 的'''形变收缩核'''。形变收缩核是一类特殊的[[同伦等价]]。 收缩不一定是形变收缩。例如,以一个单点作为形变收缩核意味着是道路连通的(事实上这个空间是可缩的)。 '''注''':形变收缩的另一个等价的定义如下。连续映射 ''r'': ''X'' → ''A'' 是一个形变收缩如果它是一个收缩且它与包含映射的复合同伦于 ''X'' 上的恒等映射。在这种表述下,一个形变收缩得出它与 ''X'' 上的恒等映射之间的一个同伦。 如果在形变收缩的定义中,我们添加条件: :<math>d(a,t) = a\,</math> 对多有 ''t'' 属于 [0, 1],''d'' 称为一个'''强形变收缩'''({{lang|en|strong deformation retraction}})。换句话说,强形变收缩在同伦中保持 ''A'' 中的点不动(也有一些作者将其作为形变收缩的定义)。 ==邻域形变收缩== ''U'' 中的空间偶 <math>(X, A)</math> 称为 NDR-偶如果存在映射 <math>u:X \rightarrow I</math> 使得 <math>A = u^{-1} (0)</math> 与同伦 <math>h:I \times X \rightarrow X</math>,使得 <math>h(0, x) = x</math> 对所有 <math>x \in X</math>,<math>h(t, a) = a</math> 对所有 <math>(t, a) \in I \times A</math>,以及 <math>h(1, x) \in A</math> 对所有 <math>x \in u^{-1} [ 0 , 1)</math>。二元组 <math>(h, u)</math> 称为 <math>(X, A)</math> 作为 NDR-偶的一个表示。 ==性质== 形變收縮是一種特殊的同倫等價。事實上,兩個空間是[[同倫等價]]的[[當且僅當]]他們都是另一個大空間的形變收縮核。 任何能形變收縮成一點的拓撲空間稱為[[可缩空间|可縮的]],反之亦然。但是存在可缩空间不能强形变收缩成一点。 ==引用== * {{planetmath|id=6255|title=Neighborhood retract}} [[Category:拓扑学|X]] <!-- covering category theory and topology --><!-- topological case, including deformation --><!-- only about deformation retracts --><!-- topological case, including deformation --> [[pl:Retrakcja (topologia)]] <!-- the topological case --><!-- deformation --><!-- deformation -->
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