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[[微分几何]]中，有多个二阶线性[[椭圆型算子|椭圆型]][[微分算子]]称为'''拉普拉斯算子'''（{{lang|en|Laplace operator 或 Laplacian}}）。本文给出它们的一个概览。

== 联络拉普拉斯算子 ==
'''联络拉普拉斯算子'''（{{lang|en|connection Laplacian}}）是作用在流形上多个张量丛上的微分算子，利用一个[[黎曼流形|黎曼]]或[[伪黎曼流形|伪黎曼]]度量来定义。当作用在函数（即秩为 0 的张量）上时，联络拉普拉斯算子称为[[拉普拉斯–贝尔特拉米算子]]。它定义为第二共变导数的[[迹]]：

:<math>\Delta T= \text{tr}\;\nabla^2 T,</math>
这里 ''T'' 是任何张量，<math>\nabla</math> 是与度量相伴的[[列维-奇维塔联络]]。回忆到 ''T'' 的第二共变导数定义为
:<math>\nabla^2_{X,Y} T = \nabla_X \nabla_Y T - \nabla_{\nabla_X Y} T.</math>

注意在此定义中，联络拉普拉斯算子的[[算子的谱|谱]]是负的。在函数上，它与由[[梯度]]的[[散度]]给出的算子相同。

== 霍奇拉普拉斯算子 ==
{{Main|拉普拉斯－德拉姆算子}}
霍奇拉普拉斯算子（{{lang|en|Hodge Laplacian}}）也叫'''[[拉普拉斯－德拉姆算子]]'''（{{lang|en|Laplace–de Rham operator}}），是作用在[[微分形式]]上的微分算子（抽象地说它是在[[余切丛]]上每个外幂上的二阶算子）。这个算子对任何配有黎曼或伪黎曼度量的流形上有定义。

:<math>\Delta= \mathrm{d}\delta+\delta\mathrm{d} = (\mathrm{d}+\delta)^2,\;</math>

这里 d 是[[外导数]]或微分而 δ 是[[余微分]]。霍奇拉普拉斯算子有正[[算子的谱|谱]]。

通过限制在反对称张量上，联络拉普拉斯算子也可作用在微分形式上。联络拉普拉斯算子与霍奇拉普拉斯算子的差别为[[外森比克恒等式]]刻画。

== Bochner 拉普拉斯算子 ==
'''Bochner 拉普拉斯算子'''（{{lang|en|Bochner Laplacian}}）与联络拉普拉斯算子的定义不同，但只要前者定义了，两者之间差一个符号。设 ''M'' 是一个紧定向流形，带有一个度量。令 ''E'' 是 ''M'' 上一个向量丛，带有纤维度量与一个相容联络 <math>\nabla</math>。这个联络给出一个微分算子
::<math>\nabla:\Gamma(E)\rightarrow \Gamma(T^*M\otimes E)</math>
这里 <math>\Gamma(E)</math> 表示 ''E'' 的光滑[[截面 (纤维丛)|截面]]，而 ''T''<sup>*</sup>M 是 ''M'' 的[[余切丛]]。可以取 <math>\nabla</math> 的 <math>L^2</math>-[[伴随算子|伴随]]，给出微分算子
::<math>\nabla^*:\Gamma(T^*M\otimes E)\rightarrow \Gamma(E).</math>
Bochner 拉普拉斯算子由
::<math>\Delta=\nabla^*\nabla</math>
给出，这是作用在向量丛 ''E'' 的截面上的一个二阶算子。注意联络拉普拉斯算子与 Bochner 拉普拉斯算子只差一个符号：
::<math> \nabla^* \nabla =  - \text{tr}\, \nabla^2.\,</math>

== Lichnerowicz 拉普拉斯算子 ==

'''Lichnerowicz 拉普拉斯算子'''（{{lang|en|Lichnerowicz Laplacian}}）<ref>{{Citation | last1=Chow | first1=Bennett | last2=Lu | first2=Peng | last3=Ni | first3=Lei | title=Hamilton's Ricci flow | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Graduate Studies in Mathematics | isbn=978-0-8218-4231-7 | id={{MathSciNet | id = 2274812}} | year=2006 | volume=77}}
</ref> 是通过取 <math>\nabla : \Gamma(\operatorname{Sym}^k(TM))\to \Gamma(\operatorname{Sym}^{k+1}(TM))</math> 为对称化的共变导数定义在对称张量上。Lichnerowicz 拉普拉斯算子定义为 <math>\Delta_L = \nabla^*\nabla</math>，这里 <math>\nabla^*</math> 是形式伴随。Lichnerowicz 拉普拉斯算子与通常张量拉普拉斯算子的区别由一个涉及[[黎曼曲率张量]]的[[外森比克公式]]刻画，在研究[[里奇流]]和 [[prescribed Ricci curvature problem]] 中有自然的应用。

== 共形拉普拉斯算子 ==
在[[黎曼流形]]上，可定义作用在光滑函数上的'''共形拉普拉斯算子'''（{{lang|en|conformal Laplacian}}）；它与拉普拉斯–贝尔特拉米算子差一个涉及度量[[数量曲率]]的项。当维数 <math>n \geq 3</math>，共形拉普拉斯，记作 ''L''，作用在光滑函数 ''u'' 上为

:<math>Lu = -4\frac{n-1}{n-2} \Delta u + Ru,\,</math>

这里 <math>\Delta</math> 是拉普拉斯–贝尔特拉米算子算子（具有负谱），''R'' 是数量曲率。这个算子经常出现于研究在黎曼度量的共形变化下数量曲率的行为。如果 <math>n \geq 3</math>，''g'' 是一个度量，''u'' 是一个光滑正函数，则 [[共形映射|共形]]度量 <math>\tilde g = u^\frac{4}{n-2} g</math> 的数量曲率为：

:<math>\tilde R = u^{-\frac{n+2}{n-2}} L u.\,</math>

==相关条目==
*[[外森比克恒等式]]（{{tsl|en|Weitzenböck identity|}}）

==参考文献==
<references/>

[[Category:微分算子]]
[[Category:微分几何]]