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'''德拜-沃勒因子'''（Debye–Waller factor，DWF），得名于[[彼得·德拜]]和{{le|伊瓦尔·沃勒|Ivar Waller}}，在[[凝聚态物理学]]中描述的是[[X射线衍射法|X射线衍射]]中由[[热运动]]引起的{{le|衰减|Attenuation}}<ref name="Debye1913">{{cite journal|title=Interferenz von Röntgenstrahlen und Wärmebewegung|last=Debye|first=Peter|journal=Annalen der Physik|issue=1|doi=10.1002/andp.19133480105|year=1913|volume=348|pages=49–92|language=德语|bibcode=1913AnP...348...49D}}</ref><ref name="Waller1923">{{cite journal|title=Zur Frage der Einwirkung der Wärmebewegung auf die Interferenz von Röntgenstrahlen|url=http://www.springerlink.com/content/n5233k4882468814/|last=Waller|first=Ivar|journal=Zeitschrift für Physik A|publisher=Springer|doi=10.1007/BF01328696|year=1923|location=Berlin / Heidelberg|volume=17|pages=398–408|language=德语|bibcode=1923ZPhy...17..398W}}</ref>；又被称作'''B因子'''或者'''温度因子'''。{{le|兰姆-穆斯堡尔因子|Lamb-Mössbauer factor}}是德拜-沃勒因子在相干{{le|中子散射实验|neutron scattering}}和[[穆斯堡尔谱学]]中的一个推广。

在[[散射]]实验中，对于散射矢量 <math>\mathbf{q}</math>，<math>\text{DWF}(\mathbf{q})</math> 给出的是{{le|弹性散射|elastic scattering}}的比例；<math>1 - \text{DWF}(\mathbf{q})</math> 则是非弹性散射的比例。（严格来讲，这种概率诠释不是非常准确<ref name="Lipkin2004">{{Cite arXiv|title=Physics of Debye-Waller Factors|last=Lipkin|first=Harry|year=2004|eprint=cond-mat/0405023v1|arxiv=cond-mat/0405023v1}}</ref>。）[[衍射#.E5.B8.83.E6.8B.89.E6.A0.BC.E8.A1.8D.E5.B0.84|布拉格衍射]]实验中，弹性散射是出现[[布拉格定律|布拉格峰]]的原因；而非弹性散射产生的是宽广的背景噪声，除非分析对象是散射粒子的能量（例如{{le|非弹性中子散射|inelastic neutron scattering}}或是[[电子能量损失谱]]），否则均被视为干扰。因此在一般的衍射实验中，只有弹性散射是有效信息。这也使得德拜-沃勒因子的计算在衍射实验中具有重要的意义。

== 背景 ==

在[[劳厄]]完成[[X射线衍射法|X射线衍射实验]]之前，学术界曾经对此实验的可行性进行过讨论。其中一种观点认为，在室温条件下，[[晶格]]中的原子由于[[热运动]]，是无法维持其在晶格中周期性排列的位置的，因此在实际的实验中不应该观测到任何的衍射峰（即布拉格峰）。<ref name = DWFKittel>{{cite book
 |last=Kittel |first=C.
 |year=2005
 |title=Introduction to Solid State Physics
 |edition=8th
 |publisher=John Wiley & Sons
 |page=641-642
 |isbn=0-471-41526-X
}}</ref>

然而，随后[[劳厄]]和[[威廉·劳伦斯·布拉格|布拉格]]等人的X射线衍射实验证实了布拉格峰的存在。实验中，当晶体的温度上升时，布拉格峰的强度下降，但其宽度不变。<ref name = DWFKittel></ref> 以下是德拜的描述：

{{Cquote 3|我将其总结为，[[干涉 (物理学)|干涉条纹]]的[[锐度]]不受影响，但是他们的强度会不但随着散射角的增加而下降，而且会随着温度的升高而下降。<ref name = DWFKittel></ref>}}

== 最初的理论 ==

对此实验现象，德拜给出了最初的理论解释。给[[结构因子]] <math>S(\mathbf{q})</math> 中表示原子位置的项 <math>\mathbf{R}_{j}</math> 加上关于时间的微扰项 <math>\mathbf{u}(t)</math>，得到修正后的原子位置为 <math>\mathbf{R}(t)=\mathbf{R}_{j}+\mathbf{u}(t)</math>。假设每个原子都相对各自的平衡位置独立地振动{{#tag:ref|这是[[爱因斯坦模型]]的假设，不适用于低温的情况，但对于高温时的预测较为准确。|group="注"}}，则对修正后结构因子中的 <math>f_{j}\exp(-i \mathbf{q}\cdot \mathbf{R}_{j})</math> 一项变为：

:<math>f_{j}\exp(-i \mathbf{q}\cdot \mathbf{R}_{j})\left\langle \exp\left(-i \mathbf{q}\cdot \mathbf{u}\right) \right\rangle</math> 

修正项 <math>\left\langle \exp\left(-i \mathbf{q}\cdot \mathbf{u}\right) \right\rangle</math> 即为'''德拜-沃勒因子'''的最初来源。

== 定义 ==

德拜-沃勒因子的基本表达式为：
: <math> \text{DWF} = \left\langle \exp\left(-i \mathbf{q}\cdot \mathbf{u}\right) \right\rangle^2</math>
其中的 <math>\mathbf{u}</math> 为热振动引起的位移，<math>\left\langle...\right\rangle</math> 表示热力学平均。

<math>\left\langle \exp\left(-i \mathbf{q}\cdot \mathbf{u}\right) \right\rangle</math> 可被展开为
: <math>1 - i\left\langle \mathbf{q}\cdot \mathbf{u} \right\rangle - \frac{1}{2}\left\langle (\mathbf{q}\cdot \mathbf{u})^2 \right\rangle + ...</math>

假设 <math>\mathbf{u}</math> 在空间上具有[[各向同性]]，即<math>\left\langle \mathbf{q}\cdot \mathbf{u} \right\rangle = 0</math>，则
: <math>\left\langle \exp\left(-i \mathbf{q}\cdot \mathbf{u}\right) \right\rangle = 1 - \frac{1}{2}\left\langle (\mathbf{q}\cdot \mathbf{u})^2 \right\rangle + ...</math>

注意到上式的前两项与 <math>\exp(-\frac{1}{2} \left\langle (\mathbf{q}\cdot \mathbf{u})^2 \right\rangle)</math> 展开式的前两项是一致的。因此可用 <math>\exp(-\frac{1}{2}\left\langle (\mathbf{q}\cdot \mathbf{u})^2 \right\rangle)</math> 代换<math>\left\langle \exp\left(-i \mathbf{q}\cdot \mathbf{u}\right) \right\rangle</math>，代入开头的基本表达式：
: <math> \text{DWF} = \left\langle \exp\left(-i \mathbf{q}\cdot \mathbf{u}\right) \right\rangle^2 = (\exp(-\frac{1}{2}\left\langle (\mathbf{q}\cdot \mathbf{u})^2 \right\rangle))^2 = \exp(-\left\langle (\mathbf{q}\cdot \mathbf{u})^2 \right\rangle)</math>

即

{{Equation box 1 |indent =:|cellpadding = 0 |border = 1 |border colour = black |background colour = transparent
|equation =  <math> \text{DWF} = \exp(-\left\langle (\mathbf{q}\cdot \mathbf{u})^2 \right\rangle)</math>}}

上式即为德拜-沃勒因子在教科书中常见的定义<ref>{{cite book
 |last1=Grosso
 |first1=Giuseppe 
 |last2=Parravicini 
 |first2=Giuseppe Pastori 
 |year=2014
 |title=Solid State Physics
 |edition=2nd
 |publisher=Elsevier 
 |page=469
 |isbn=978-0-12-385030-0
}}</ref><ref>{{cite book
 |last1=Ashcroft
 |first1=Neil 
 |last2=Mermin
 |first2=N. 
 |year=1976
 |title=Solid State Physics
 |edition=
 |publisher=Brooks Cole
 |page=793
 |isbn=978-0030839931
}}</ref>{{#tag:ref|教科书上的推导均涉及量子力学，与上式仅仅是结论一致。|group="注"}}。值得注意的是上述推导都是在[[經典物理學|经典物理学]]的框架之下完成的；而在[[量子力学]]中，相同的结论依然成立。

进一步的推导<ref name = DWFKittel></ref>可得
: <math> \text{DWF} = \exp\left( -q^2 \langle u^2 \rangle / 3  \right)</math>
其中 <math>q</math>，<math>u</math> 为向量 <math>\mathbf{q}</math>，<math>\mathbf{u}</math> 的大小。<math>\langle u^2 \rangle</math> 叫做{{le|均方位移|mean squared displacement}}。若入射波的波长为 <math>\lambda</math>，且被弹性散射了 <math>2\theta</math> 角度，可用下式计算出 <math>q</math> 的大小：
: <math>q = \frac{4\pi \sin(\theta)}{\lambda}</math>

== B因子 ==

在对[[蛋白质结构]]的研究中，“'''B因子'''（B-factor）”这个名称更为常用，其定义为
: <math>B = 8\pi^2 \langle u^2 \rangle</math>
单位为 [[埃格斯特朗|Å]]<sup>2</sup>。B因子可被看作是结构中不同部分的相对振动。低B因子的原子从属于结构中良好有序（well ordered）的部分，而高B因子的原子一般属于结构中非常柔性易变（flexible）的部分。[[蛋白质资料库]]中的每一ATOM记录（{{le|PDB文件格式|Protein Data Bank (file format)}}）都会包含某特定原子的B因子信息<ref>{{cite web
|url = http://www.cmbi.ru.nl/bdb/theory/
|title = What is a B-factor?
|publisher = {{le|分子与生物分子信息中心|Center for Molecular and Biomolecular Informatics|CMBI}}
|access-date = 2017-07-06
|language = en}}</ref>。

== 参见 ==
* {{le|兰姆-穆斯堡尔因子|Lamb-Mössbauer factor}}

== 注释 ==
{{Reflist|group="注"}}

== 参考资料 ==
{{reflist|30em}}

[[Category:凝聚体物理学]]
[[Category:晶体学]]
[[Category:散射]]
[[Category:繞射]]