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在[[命题逻辑]]和[[逻辑代数]]中，'''德摩根定律'''（{{lang-en|De Morgan's laws}}，或称'''笛摩根定理'''、'''对偶律'''）是关于命题逻辑规律的一对法则<ref name=cihai>{{cite encyclopedia|title=德·摩根定律|editor=《数学辞海》编辑委员会|encyclopedia=数学辞海|volume=第六卷|year=2002|publisher=山西教育出版社 等|location=太原|isbn=7-5440-2401-6|pages=543}}</ref>。

19世纪英国数学家[[奥古斯塔斯·德摩根]]首先发现了在命题逻辑中存在着下面这些关系：

: <math> \neg ( p \land q ) \equiv ( \neg p ) \lor ( \neg q ) </math>

: <math> \neg ( p \lor q ) \equiv ( \neg p ) \land ( \neg q ) </math>

即：

:非（ <math>p</math> 且 <math>q</math> ）等价于（ 非 <math>p</math> ）或（ 非 <math>q</math> ）

:非（ <math>p</math> 或 <math>q</math> ）等价于（ 非 <math>p</math> ）且（ 非 <math>q</math> ）

德摩根定律在[[数理逻辑]]的定理推演中，在[[计算机]]的逻辑设计中以及[[数学]]的[[集合运算]]中都起着重要的作用<ref name=cihai/>。他的发现影响了[[乔治·布尔]]从事的逻辑问题代数解法的研究，这巩固了德摩根作为该规律的发现者的地位，尽管[[亚里士多德]]也曾注意到类似现象、且这也为古希腊与中世纪的逻辑学家熟知（引自Bocheński《形式逻辑历史》）。

== 形式表示 ==

形式逻辑中此定律表达形式已在上文提及。

在集合论中：

:<math>\left(A\cap B\right)^C=A^C\cup B^C</math>

:<math>\left(A\cup B\right)^C=A^C\cap B^C</math>

== 详细解释 ==
在经典命题逻辑的外延中，此二元性依然有效（即对于任意的逻辑运算符，我们都能找他它的对偶），由于存在于调节否定关系的恒等式中，人们总会引入作为一个算符的德摩根对偶的另一个算符。这导致了基于传统逻辑的逻辑学的一个重要性质，即[[否定范式]]的存在性：任何公式等价于另外一个公式，其中否定仅出现在作用于公式中非逻辑的原子时。否定常型的存在推进了许多应用，例如在[[数位电路]]设计中该性质用于操纵[[逻辑閘]]，以及在形式逻辑中该性质是寻找一个公式的[[合取范式]]和[[析取范式]]的必要条件；电脑程式設計師们则用它们将一个类似于"''如果...那么...否则...''"这样的复杂语句转变为其对等形式（例如：<code>if(...){...} else{...}</code>）；它们也同样经常用于初等[[概率论]]中的计算。

我们将基于基本命题<math>p</math>, ''<math>q</math>''的任意命题算符<math>P(p,q,\ldots)</math>的对偶定义为：

:<math>\neg \mbox{P}^d(\neg p, \neg q, ...)</math>

该概念可以推广到逻辑量词上，例如[[全称量词]]和[[存在量词]]互为对偶：

:<math>\forall x \, P(x) \equiv \neg \exists x \, \neg P(x)</math>
:“对所有<math>x</math>，<math>P(x)</math>皆成立”等价于“不存在<math>x</math>，使<math>P(x)</math>不成立”；

:<math>\exists x \, P(x) \equiv \neg \forall x \, \neg P(x)</math>
:“存在<math>x</math>，使<math>P(x)</math>成立”等价于“并非对所有<math>x</math>，<math>P(x)</math>都不成立”。

为对德摩根定律叙述这些量词的二元性，设置一个在其域<math>D</math>中具有少量元素的[[模型论|模型]]，例如
:<math>D = {a, b, c}</math>
则
:<math>\forall x \, P(x) \equiv P(a) \wedge P(b) \wedge P(c)</math>
:“对所有<math>x</math>，<math>P(x)</math>成立”等价于“<math>P(a)</math>成立”且“<math>P(b)</math>成立”且“<math>P(c)</math>成立”
以及
:<math>\exists x \, P(x) \equiv P(a) \vee P(b) \vee P(c)</math>
:“存在<math>x</math>，使<math>P(x)</math>成立”等价于“<math>P(a)</math>成立”或“<math>P(b)</math>成立”或“<math>P(c)</math>成立”
但，应用德摩根定律，
:<math>P(a) \wedge P(b) \wedge P(c) \equiv \neg (\neg P(a) \vee \neg P(b) \vee \neg P(c))</math>
:“‘<math>P(a)</math>成立’且‘<math>P(b)</math>成立’且‘<math>P(c)</math>成立’”等价于“非(‘<math>P(a)</math>不成立’或‘<math>P(b)</math>不成立’或‘<math>P(c)</math>不成立’)”
以及
:<math>P(a) \vee P(b) \vee P(c) \equiv \neg (\neg P(a) \wedge \neg P(b) \wedge \neg P(c))</math>
:“‘<math>P(a)</math>成立’或‘<math>P(b)</math>成立’或‘<math>P(c)</math>成立’”等价于“非(‘<math>P(a)</math>不成立’且‘<math>P(b)</math>不成立’且‘<math>P(c)</math>不成立’)”
检验模型中量词的二元性。

从而，量词的二元性可进一步延伸到[[模态逻辑]]中的[[方块]]和[[菱形]]算符：
:<math>\Box p \equiv \neg \Diamond \neg p</math>
:<math>\Diamond p \equiv \neg \Box \neg p</math>

在其用于可能性和必然性的[[真势模态]]的应用中，[[亚里士多德]]注意到该情况，以及在[[正规模态逻辑]]的情况中，这些模态算符对量化的关系可借助按[[关系语义]]设置模型来理解。

== 参见 ==
* [[布尔代数主题列表]]

== 注释与参考资料 ==
===引用===
<small>
* “应注意到一个析取命题的对立命题是由该析取命题各部分的对立内容构成的一个合取命题” ——[[奥卡姆的威廉]]著，《逻辑学论文》
</small>
===参考文献===
{{reflist}}

== 外部链接 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/deMorgansLaws.html 数学世界：德摩根定律]

[[Category:布尔代数|D]]
[[Category:邏輯|D]]
[[Category:对偶理论]]

{{集合论}}