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{{NoteTA|G1=物理學}}
[[Image:Electrona_in_crystallo_fluentia.svg|thumb|300 px|right|德鲁德模型中的电子（蓝色）不断在较重的、静止的晶体离子中间（红色）徘徊。]]

[[电传导]]的'''德鲁德模型'''在1900年<ref>
{{cite journal
|last= Drude
|first= Paul
|title= Zur Elektronentheorie der metalle
|journal= Annalen der Physik
|volume= 306
|pages= 566
|issue= 3
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|year= 1900
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</ref>
<ref>
{{cite journal
|last= Drude
|first= Paul
|title= Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte
|journal= Annalen der Physik
|volume= 308
|issue= 11
|pages= 369
|url= http://www3.interscience.wiley.com/cgi-bin/fulltext/112485893/PDFSTART
|year= 1900
}}{{Dead link|date=2019年4月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
</ref>
由[[保罗·德鲁德]]提出，以解释[[电子]]在物质（特别是金属）中的输运性质。这个模型是[[分子运动论]]的一个应用，假设了电子在固体中的微观表现可以用经典的方法处理，很像一个[[彈珠台]]，其中电子不断在较重的、相对固定的正离子之间来回反弹。 

德鲁德模型的两个最重要的结果是电子的运动方程：
:<math>\frac{d}{dt}\mathbf{p}(t) = q\mathbf{E} - \frac{\mathbf{p}(t)}{\tau},</math>
以及[[电流密度]]<math>J</math>与[[电场]]<math>E</math>之间的线性关系：
:<math>\mathbf{J} = \left( \frac{n q^2 \tau}{m} \right) \mathbf{E}.</math>
在这里，<math>t</math>代表时间，<math>p</math>、<math>q</math>、<math>n</math>、<math>m</math>和<math>\tau</math>分别代表电子的动量、电荷、数密度、质量，以及与离子碰撞之间的平均自由时间。后一个表达式尤其重要，因为它用半定量的术语解释了为什么[[欧姆定律]]，电磁学中最普遍存在的一个关系，应该是正确的。<ref>{{cite book 
| author = Neil W. Ashcroft 
| coauthors = N. David Mermin 
| title = Solid State Physics 
| publisher = Saunders College 
| year = 1976 
| pages = 6–7 
| isbn = 0-03-083993-9}}</ref>
<ref>{{cite book 
| author = Edward M. Purcell 
| title = Electricity and Magnetism
| publisher = McGraw-Hill
| year = 1965
| pages = 117–122 
| isbn = 978-0070049086}}</ref>
<ref>{{cite book 
| author = David J. Griffiths
| title = Introduction to Electrodynamics 
| publisher = Prentice-Hall
| year = 1999
| pages = 289
| isbn = 978-81-203-161-0}}</ref>

==解释==

===直流电场=== 

德鲁德模型最简单的分析，假设了电场<math>\mathbf{E}</math>既是均匀的又是恒定的，且电子的热速度足够大，使得它们在碰撞之间仅仅积累了无穷小的动量<math>d\mathbf{p}</math>，这平均每隔<math>\tau</math>秒发生一次。<ref>{{cite book 
| author = Neil W. Ashcroft 
| coauthors = N. David Mermin 
| title = Solid State Physics 
| publisher = Saunders College 
| year = 1976 
| pages = 6–7 
| isbn = 0-03-083993-9}}</ref>

于是，在时间<math>t</math>分离的电子自从它上一次碰撞将平均运动了<math>\tau</math>秒，因此将积累了动量：

:<math>d\langle\mathbf{p}\rangle = q \mathbf{E} \tau.</math>

在它上一次碰撞期间，这个电子向前面反弹的机会将刚刚与向后面反弹的机会相等，因此所有对电子动量的之前的贡献都可以忽略，便得到表达式：

:<math>\langle\mathbf{p}\rangle = q \mathbf{E} \tau.</math>

代入以下关系：

:<math>\langle\mathbf{p}\rangle = m \langle\mathbf{v}\rangle,</math>
:<math>\mathbf{J} = n q \langle\mathbf{v}\rangle,</math>

便得出上面提到的欧姆定律的表述：

:<math>\mathbf{J} = \left( \frac{n q^2 \tau}{m} \right) \mathbf{E}.</math>

===时变分析===

电子的运动也可以通过引入一个有效的阻力来描述。在时间<math>t=t_0+dt</math>，电子的平均动量将为：

:<math>\langle\mathbf{p}(t_0+dt)\rangle=\left( 1 - \frac{dt}{\tau} \right) \left(\langle\mathbf{p}(t_0)\rangle + q\mathbf{E}dt + ... \right),</math>

由于平均来说，<math>( 1 - dt/\tau )</math>个电子将不经历另外一次碰撞，而那些经历另外一次碰撞的电子将对总的动量仅有可忽略的贡献。<ref>{{cite book 
| author = Neil W. Ashcroft 
| coauthors = N. David Mermin 
| title = Solid State Physics 
| publisher = Saunders College 
| year = 1976 
| pages = 11 
| isbn = 0-03-083993-9}}</ref>

经过一番计算，便得出以下的微分方程：

:<math>\frac{d}{dt}\langle\mathbf{p}(t)\rangle = q\mathbf{E} - \frac{\langle\mathbf{p}(t)\rangle}{\tau},</math>

其中<math>\langle\mathbf{p}\rangle</math>表示[[平均]]动量，m表示有效质量，q表示电子的电荷。这是一个非齐次微分方程，它的通解为：

:<math>\langle\mathbf{p}(t)\rangle = q \tau \mathbf{E} + \mathbf{C} e^{-t/\tau}</math>

于是，[[穩態 (系統)|稳态]]解（<math>\frac{d}{d t}\langle\mathbf{p}\rangle = 0</math>）为：

:<math>\langle\mathbf{p}\rangle = q \tau \mathbf{E},</math>

像上面一样，平均动量可以与平均速度有关，而这又可以与电流密度有关：

:<math>\langle\mathbf{p}\rangle = m \langle\mathbf{v}\rangle,</math>
:<math>\mathbf{J} = n q \langle\mathbf{v}\rangle,</math>

于是可以证明，物质满足[[欧姆定律]]，其[[直流电]]电导率为<math>\, \sigma_0</math>：

:<math>\mathbf{J} = \left( \frac{n q^2 \tau}{m} \right) \mathbf{E}.</math>

德鲁德模型还可以预言在角频率为<math>\, \omega</math>的时变电场的响应下的电流，在这种情况下：

:<math>\sigma(\omega) = \frac{\sigma_0}{1 + i\omega\tau}.</math>

这里假设了

:<math>E(t) = \Re(E_0 e^{i\omega t});</math>
:<math>J(t) = \Re(\sigma(\omega) E_0 e^{i\omega t}).</math>

还存在另一种惯例，所有方程中的<math>\, i</math>都用<math>\, -i</math>来代替。虚数部分表示电流落后于电场，这是由于电子大约需要时间<math>\, \tau</math>来对电场的变化作出响应。这里德鲁德模型是应用于电子的；它既可以应用于电子，又可以应用于空穴，也就是说，半导体中的正电荷载流子。

==模型的准确性==

这个简单、经典的德鲁德模型提供了[[金属]]中的直流电和交流电传导、[[霍尔效应]]，以及[[热传导]]的非常好的解释。这个模型也解释了1853年发现的[[維德曼–夫蘭茲定理|魏德曼-弗朗茨定律]]。然而，它大大高估了金属的电子热容。实际上，金属和绝缘体在常温下的热容大致上相等。虽然模型可以应用于正电荷（空穴）载流子，像霍尔效应所验证的那样，它并不预言它们的存在。

德鲁德在最初的论文中犯了一个概念性的错误，他估计电导率仅有实际值的一半。<ref>{{cite book 
| author = Neil W. Ashcroft 
| coauthors = N. David Mermin 
| title = Solid State Physics 
| publisher = Saunders College 
| year = 1976 
| pages = 23 
| isbn = 0-03-083993-9}}</ref>

==参见==
*[[自由电子模型]]
*[[阿诺·索末菲]]
*[[经典和量子传导]]
*[[电导率]]

==参考文献==
{{Reflist}}

{{原子模型}}

[[Category:固体物理学|D]]