查看“态叠加原理”的源代码

{{NoteTA|G1=物理學}}
[[File:Ebohr1_IP.svg|thumb|250px|在[[雙縫實驗]]裏，從光源<math>\mathrm{a}</math>傳播出來的[[相干性|相干光子束]]，照射在一塊刻有兩條狹縫<math>\mathrm{b}</math>和<math>\mathrm{c}</math>的不透明擋板<math>\mathrm{S2}</math>。在擋板的後面，擺設了攝影膠捲或某種偵測屏<math>\mathrm{F}</math>，用來紀錄到達<math>\mathrm{F}</math>的任何位置<math>\mathrm{d}</math>的光子數據。最右邊黑白相間的條紋，顯示出光子在偵測屏<math>\mathrm{F}</math>的干涉圖樣。]]
在[[量子力学]]裏，'''态[[叠加原理|叠加]]原理'''（superposition principle）表明，假若一個量子系統的[[量子態]]可以是幾種不同量子態中的任意一種，則它們的[[歸一化]][[線性組合]]也可以是其量子態。稱這線性組合為「[[疊加態]]」。假設組成疊加態的幾種量子態相互[[正交]]，則這量子系統處於其中任意量子態的[[機率]]是對應[[加權平均數|權值]]的絕對值平方。<ref name=French>{{citation | last=French|first=Anthony| title = An Introduction to Quantum Physics| date = 1978 | publisher = W. W. Norton, Inc.| isbn = 0-393-09106-0}}</ref>{{rp|316ff}}

從[[數學]]表述，态叠加原理是[[薛丁格方程式]]的解所具有的性質。由於薛丁格方程式是個[[線性方程式]]，任意幾個解的[[線性組合]]也是解。這些形成線性組合（稱為「疊加態」）的解時常會被設定為相互正交（稱為「[[基底|基底態]]」），例如[[氫原子]]的[[電子]][[能級|能級態]]；換句話說，這幾個基底態彼此之間不會出現重疊。這樣，對於疊加態測量任意可觀察量所得到的[[期望值]]，是對於每一個基底態測量同樣可觀察量所得到的期望值，乘以疊加態處於對應基底態的機率之後，所有乘積的總和。

更具體地說明，假設對於某量子系統測量可觀察量<math>A</math>，而可觀察量<math>A</math>的本徵態<math>|a_1\rang</math>、<math>|a_2\rang</math>分別擁有本徵值<math>a_1</math>、<math>a_2</math>，則根据[[薛定谔方程]]的[[线性关系]]，疊加態<math>|\psi\rang=c_{1}|a_1\rang+c_{2}|a_2\rang</math>也可以是這量子系統的量子態；其中，<math>c_1</math>、<math>c_2</math>分別為疊加態處於本徵態<math>|a_1\rang</math>、<math>|a_2\rang</math>的[[機率幅]]。假設对這疊加態系統测量[[可观察量]]<math>A</math>，則測量獲得數值是<math>a_{1}</math>或<math>a_{2}</math>的機率分別為<math>|c_{1}|^2</math>、<math>|c_{2}|^2</math>，[[期望值]]為<math>\langle\psi |A|\psi\rang=|c_{1}|^2 a_1 +|c_{2}|^2 a_2</math>。

舉一個可直接觀察到量子疊加的實例，在[[雙縫實驗]]裏，可以觀察到通過兩條狹縫的[[光子]]相互[[波的干涉|干涉]]，造成了顯示於偵測屏障的明亮條紋和黑暗條紋，這就是雙縫實驗著名的干涉圖樣。

再舉一個案例，在[[量子運算]]裏，[[量子位元]]是的兩個基底態<math>|0 \rangle </math>與<math>|1 \rangle </math>的線性疊加。這兩個基底態<math>|0 \rangle </math>、<math>|1 \rangle </math>的本徵值分別為<math>0</math>、<math>1</math>。

==理論==
在數學裏，[[疊加原理]]表明，[[線性方程式]]的任意幾個解所組成的[[線性組合]]也是這方程式的解。由於薛丁格方程式是線性方程式，疊加原理也適用於量子力學，在量子力學裏稱為態疊加原理。假設某量子系統的量子態可以是  <math>|f_1\rang</math>或<math>|f_2\rang</math>  ，這些量子態都滿足描述這量子系統物理行為的薛丁格方程式。則這量子系的量子態也可以是它們的線性組合<math>|f\rang=c_1|f_1\rang+c_2|f_2\rang</math>，也滿足同樣的薛丁格方程式；其中，<math>c_1</math>、<math>c_2</math>是複值係數，為了歸一化<math>|f\rang</math>，必須讓<math>|c_{1}|^2+|c_{2}|^2=1</math>。

假設<math>\theta</math>為實數，則雖然<math>e^{i\theta}|f_2\rang</math>與<math>|f_2\rang</math>標記同樣的量子態，他們並無法相互替換。例如，<math>|f_1\rang+|f_2\rang</math>、<math>|f_1\rang+e^{i\theta}|f_2\rang</math>分別標記兩種不同的量子態。但是，<math>|f_1\rang+|f_2\rang</math>和<math>e^{i\theta}(|f_1\rang+|f_2\rang)</math>都標記同一個量子態。因此可以這樣說，整體的[[相位因子]]並不具有物理意義，但相對的相位因子具有重要的物理意義。<!--from量子態-->這種相位因子固定不變的量子疊加稱為「相干量子疊加」。<ref name=French/>{{rp|317}}

===電子自旋範例===
設想[[自旋]]為<math>1/2</math>的[[電子]]，它擁有兩種相互正交的自旋本徵態，上旋態<math>|\uparrow \rang</math>與下旋態<math>|\downarrow \rang</math>，它們的量子疊加可以用來表示[[量子位元]]：
:<math>|\psi\rang= c_{\uparrow}|\uparrow \rang + c_{\downarrow}|\downarrow \rang</math>；

其中，<math>c_{\uparrow}</math>、<math>c_{\downarrow}</math>分別是複值係數，為了歸一化<math>|\psi\rang</math>，必須讓<math>|c_{\uparrow}|^2+|c_{\downarrow}|^2=1</math>。

這是最一般的量子態。係數<math>c_{\uparrow}</math>、<math>c_{\downarrow}</math>分別給定電子處於上旋態或下旋態的機率：
:<math> p_{\uparrow}=|c_{\uparrow}|^2</math>、
:<math> p_{\downarrow}=|c_{\downarrow}|^2 </math>。

總機率應該等於1：
<math>p=p_{\uparrow}+p_{\downarrow}=|c_{\uparrow}|^2+|c_{\downarrow}|^2=1</math>。

這電子也可能處於這兩個量子態的疊加態：
:<math>|\psi\rangle = {3i\over 5}  |\uparrow\rang + {4\over 5} |\downarrow\rang</math>。

電子處於上旋態或下旋態的機率分別為
:<math>p_{\uparrow}=\left|\;\frac{3i}{5}\;\right|^2=\frac{9}{25}</math>、
:<math>p_{\downarrow}=\left|\;\frac{4}{5}\;\right|^2=\frac{16}{25}</math>。

再次注意到總機率應該等於1：
:<math>p=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1</math>。

===非相對論性自由粒子案例===
描述一個非[[相對論]]性自由粒子的[[含時薛丁格方程式]]為<ref name=French/>{{rp|331-336}}
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \ \Psi(\mathbf{r},t) =
i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{r},t)</math>；

其中，<math>\hbar</math>是[[普朗克常數|約化普朗克常數]]，<math>\Psi(\mathbf{r},t)</math>是粒子的[[波函數]]，<math>\mathbf{r}</math>是粒子的位置，<math>t</math>是時間。

這薛丁格方程式有一個[[平面波]]解：
:<math>\Psi(\mathbf{r},t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}</math>；

其中，<math>\mathbf{k}</math>是[[波向量]]，<math>\omega</math>是[[角頻率]]。

代入薛丁格方程，這兩個變數必須遵守關係式
:<math>\frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\hbar \omega</math>。

由於粒子存在的[[機率]]等於1，波函數<math>\Psi(\mathbf{r},t)</math>必須[[歸一化]]，才能夠表達出正確的物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是問題。因為，自由粒子的波函數，在位置或動量方面，都是局部性的。在[[量子力學]]裏，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數可以表示為很多平面波的[[量子疊加]]：
:<math>\Psi(\mathbf{r},t)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb{K}} A(\mathbf{k})e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\mathrm{d}\mathbf{k}</math>；

其中，積分區域<math>\mathbb{K}</math>是<math>\mathbf{k}</math>-空間。

為了方便計算，只思考一維空間，
:<math>\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{ \infty}_{ - \infty} A(k) ~ e^{i(kx - \omega(k)t)} \ \mathrm{d}k </math>；

其中，振幅<math>A(k)</math>是量子疊加的係數函數。

逆反過來，係數函數表示為
:<math> A(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{ - \infty} \Psi(x,0) ~ e^{ - ikx}\,\mathrm{d}x </math>；

其中，<math>\Psi(x,0)</math>是在時間<math>t=0</math>的波函數。

所以，知道在時間<math>t=0</math>的波函數<math>\Psi(x,0)</math>，通過[[傅立葉變換]]，可以推導出在任何時間的波函數<math>\Psi(x,t)</math>。

==參見==
* [[叠加原理]]
* [[波函数]]
*[[Delta 位勢阱]] 
*[[Delta 位勢壘]]

==參考文獻==
{{reflist}}

{{refbegin|2}}
* [[尼尔斯·玻尔|Bohr, N.]] (1927/1928). The quantum postulate and the recent development of atomic theory, [http://www.nature.com/nature/journal/v121/n3050/abs/121580a0.html ''Nature'' Supplement 14 April 1928, '''121''': 580–590].
* [[克洛德·科昂-唐努德日|Cohen-Tannoudji, C.]], Diu, B., Laloë, F. (1973/1977). ''Quantum Mechanics'', translated from the French by S. R. Hemley, N. Ostrowsky, D. Ostrowsky, second edition, volume 1, Wiley, New York, {{ISBN|0471164321}}.
* [[Paul Dirac|Dirac, P. A. M.]] (1930/1958). ''The Principles of Quantum Mechanics'', 4th edition, Oxford University Press.
* [[Albert Einstein|Einstein, A.]] (1949). Remarks concerning the essays brought together in this co-operative volume, translated from the original German by the editor, pp.&nbsp;665–688 in [[Paul Arthur Schilpp|Schilpp, P. A.]] editor (1949), [http://www.worldcat.org/title/albert-einstein-philosopher-scientist/oclc/311439 ''Albert Einstein: Philosopher-Scientist''], volume {{math|II}}, Open Court, La Salle IL.
* [[Richard Feynman|Feynman, R. P.]], Leighton, R.B., Sands, M. (1965). ''The Feynman Lectures on Physics'', volume 3, Addison-Wesley, Reading, MA.
* [[Eugen Merzbacher|Merzbacher, E.]] (1961/1970). ''Quantum Mechanics'', second edition, Wiley, New York.
* [[Albert Messiah|Messiah, A.]] (1961). ''Quantum Mechanics'', volume 1, translated by G.M. Temmer from the French ''Mécanique Quantique'', North-Holland, Amsterdam.
* {{cite book|ref=harv|first1=J. A.|last1=Wheeler|author1link=zh:約翰·惠勒|John Archibald Wheeler|first2=W.H.|last2=Zurek|author2link=Wojciech H. Zurek|year=1983|title=Quantum Theory and Measurement|publisher=Princeton University Press|location=Princeton NJ}}
{{refend}}

{{量子力學}}
[[Category:量子力学|T]]


[[sk:Princíp superpozície#Princíp superpozície v kvantovej mechanike]]