查看“悬链线”的源代码

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[[File:mc_Catenary.png|frame|right|不同的悬链线]]
[[File:Kette Kettenkurve Catenary 2008 PD.JPG|thumb|180px|right|鐵鏈形式的悬链线。]]
[[File:SpiderCatenary.jpg|thumb|180px|right|蜘蛛絲形成多個（近似的）悬链线。]]

'''悬链线'''是一种常用[[曲线]]，物理上用于描绘悬在水平两点间的因均匀[[引力]]作用下的软绳的形状，因此而得名。它的公式为：

:<math>y = a\cosh \frac{x}{a}</math>或者简单地表示为<math>y=\frac{a\left(e^\frac{x}{a} + e^{-\frac{x}{a}}\right)}{2}</math>

其中cosh是[[雙曲余弦]]函数，<math>a</math> 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的[[常数]]，<math>x</math>軸為其準線。具体来说，<math>a=\frac{T_0}{g\lambda}</math>，其中<math>g</math>是重力加速度，<math>\lambda</math>是线密度（假设绳子密度均匀），而<math>T_0</math>是绳子上每一点处张力的水平分量，它取决于绳子的悬挂方式；若绳子两端在同一水平面上，则下面的方程决定了<math>a</math>
:<math>\frac{L}{a}=\sinh\frac{d}{a}</math>
其中L是绳子总长的一半，d是端点距离的一半。

== 方程的推导 ==
表达式的证明

如右图，设最低点<math>A</math>处受水平向左的拉力<math>H</math>，右悬挂点处表示为<math>C</math>点，在<math>AC</math>弧线区段任意取一段设为<math>B</math>点，则<math>AB</math>受一个斜向上的拉力<math>T</math>，设<math>T</math>和水平方向夹角为<math>\theta</math>，绳子的质量为<math>m</math>,受力分析有：

<math>T\sin\theta=mg</math>；

<math>T\cos\theta=H</math>，

<math>\tan\theta=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{mg}{H}</math>，

<math>mg=\rho s</math>，　其中<math>s</math>是右段<math>AB</math>绳子的长度，<math>\rho</math>是绳子线重量密度，<math>\tan\theta</math>为切线方向，记<math>a=\frac \rho H</math>, 代入得微分方程<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=a s</math>;

利用弧长公式<math>\mathrm{d}s=\sqrt{1+\dfrac{\mathrm{d}y^2}{\mathrm{d}x^2}}\mathrm{d}x</math>;

所以<math>s=\int\sqrt{1+\dfrac{\mathrm{d}y^2}{\mathrm{d}x^2}}\mathrm{d}x</math>;

再把<math>s</math>代入微分方程得<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=a\int\sqrt{1+\frac{\mathrm{d}y^2}{\mathrm{d}x^2}}{\mathrm{d}x}\ \cdots\cdots\ (1)</math>

对于<math>(1)</math>设<math>p=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math>微分处理

得 <math>p'=\frac{\rho}{H}\sqrt{1+p^2}\ \cdots\cdots\ (2)</math>

其中<math>p'=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}</math>;

对(2)分离常量求积分

<math>\int\frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=\int a dx</math>

得<math>ln(p+\sqrt{1+p^2})=ax+C</math>，即<math>\mathrm{arsinh} p=ax+C</math>

其中<math>\mathrm{arsinh} p</math>为[[反双曲函数]];

当<math>x=0</math>时，<math>\frac{dy}{dx}=p=0</math>；

带入得<math>C=0</math>；

整理得<math>\mathrm{arsinh} p=\frac{\rho x}{H}</math>.

== 工程中的应用 ==
[[悬索桥]]、[[双曲拱桥]]、[[架空电缆]]都用到悬链线的原理。
在工程中有一种应用，<math>a</math>称作悬链系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式及图像如下：
:<math>y = a\ \left( \cosh \frac{x}{a} -1 \right)</math>
:
还有以下几个公式，可能也有用：
:<math>L = a\ \sinh \frac{x}{a}</math>
:<math>\tan \alpha = \sinh \frac{x}{a}</math>
:<math>F_0 = a\ \gamma</math>
其中<math>L</math>是曲线中某点到0点的链索长度，<math>\alpha</math>是该点的正切角，<math>F_0</math>是0点处的水平张力，<math>\gamma</math>是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。

==參見==
*[[曳物線]]
*[[双曲函数]]
[[Category:超越曲線]]
[[Category:微分几何]]