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{{NoteTA|G1=Physics}}
'''應力-能量張量'''，也稱'''應力-能量-動量張量'''、'''能量-應力張量'''、'''能量-動量張量'''、簡稱'''能動張量'''，在物理學中是一個[[張量]]，描述[[能量]]與[[動量]]在時空中的[[密度]]與[[通量]](flux)，其為[[牛頓力學|牛頓物理]]中[[應力|應力張量]]的推廣。在[[廣義相對論]]中，應力-能量張量為[[重力場]]的源，一如[[牛頓萬有引力定律|牛頓重力理論]]中[[質量]]是重力場源一般。應力-能量張量具有重要的應用，尤其是在[[愛因斯坦場方程式]]。

== 定義 ==
''請注意我們將全程使用到[[愛因斯坦取和原則]]。當用到[[座標]]表示，x<sup>0</sup>代表時間，其他座標項x<sup>1</sup>, x<sup>2</sup>及x<sup>3</sup>則為剩下的空間分量。''

應力-能量張量為一個二階[[張量]]<math>T^{ab}</math>，給出[[四維動量|四維動量或4-動量]]之a分量通過一座標為常數x<sup>b</sup>之表面的[[通量]]。
另外要注意的是應力-能量張量是對稱(當[[自旋張量]]為零時)，亦即 
:<math>T^{ab} = T^{ba} \,</math>

若[[自旋張量]]S非零，則
:<math>\partial_{\alpha}S^{\mu\nu\alpha} = T^{\mu\nu} - T^{\nu\mu} </math>

== 例子 ==
此處舉出一些特例：
:<math>T^{00}</math>
代表[[能量密度]]。

:<math>T^{0i}</math>
代表能量通過''x''<sup>''i''</sup>表面之通量，等同於
:<math>T^{i0}, </math>
第''i'' 動量之密度。

分量
:<math> T^{ij} </math>
代表''i'' 動量通過''x''<sup>''j''</sup>表面之通量。其中較特別的是：
:<math> T^{ii} </math>
代表一個類似[[壓力]]與[[張應力]]的物理量——[[應力|正向應力]](normal stress)，而
:<math> T^{ij}, \quad i \ne j </math>
代表[[剪應力]](shear stress)。

'''提醒'''：在[[固態物理]]與[[流體力學]]中，[[應力張量]]所指為應力-能量張量於[[共動參考系]](comoving frame of reference)的空間分量。換句話說，[[工程學]]中的應力-能量張量與此處由動量對流項(momentum convective term)表示的應力-能量張量有所差異。

== 作為諾特流(Noether current) ==

應力-能量張量滿足[[連續性方程式]](continuity equation)
:<math>\nabla_b T^{ab}=T^{ab}{}_{;b}=0</math>.

此一物理量
:<math>\int d^3x T^{a0}</math> 
是對一[[類空]]切面積分，得出[[4-動量|能量-動量向量]]。分量<math>T^{a0}</math>因此可以詮釋為（非重力的）能量與動量之局域密度，而連續性方程式的第一分量

:<math> \nabla_b T^{0b} = \nabla \cdot \mathbf{p} - \frac{\partial E}{\partial t} = 0</math>

則單純是[[能量守恆]]的表述。空間分量<math>T^{ij}</math> (''i, j'' = 1, 2, 3)則對應到局域非重力的[[應力]]分量，其中包括了[[壓力]]。此一張量為與[[時空]][[移動]]相應的守恆[[諾特流|諾特流(Noether current)]]。

== 於廣義相對論中 ==

上面所給的關係並不唯一決定此張量。在[[廣義相對論]]中，[[對稱]]形式的張量，也就是額外滿足
:<math>T^{ab} = T^{ba}</math>
的關係的張量成為時空[[曲率張量|曲率]]的源，並且是與[[規範变換]](gauge transformation)相應的流密度(current density)，在此是以[[座標变換]]為例。若有[[扭率]](torsion)，則此張量就不再是對稱的。這對應到非零[[自旋張量]]的例子。參見[[愛因斯坦-嘉當重力]]。

在廣義相對論中，平直時空所用的[[偏導數]](偏微分，partial derivative)修改為[[協變導數]](covariant derivative)。這表示連續性方程式中用張量表示的能量和動量不是絕對地守恆。在[[牛頓重力]]的古典極限，這一點有一個簡單的解釋：與引力[[位能]]互相交換的能量，它沒有包含在能動張量中，而動量是通過場傳遞到其他物體。然而在廣義相對論中，無法定義對應「重力場」能量密度與動量密度的物理量；任何意圖要定義這些密度的膺張量(pseudo-tensor)均可以透過一個座標轉換使它們局域地消失為零。一般情況下，對於應力─能量張量只是部分的"協變守恆"，我們必須感到心滿意足。

在彎曲時空中，一般而言類空[[積分]]依賴於類空截面。事實上在一般的彎曲時空中是無法定義一個全局的能量─動量張量（原文誤為'vector'）。


=== 愛因斯坦場方程式 ===
{{main|愛因斯坦場方程式}}

在廣義相對論中，應力-能量張量主要出現在愛因斯坦場方程式的研究題材中，方程式常寫為：
:<math>R_{\alpha \beta} - {1 \over 2}R\,g_{\alpha \beta} = {8 \pi G \over c^4} T_{\alpha \beta},</math>

其中<math>R_{\alpha \beta}</math>為[[里奇張量]], <math>R</math>為里奇純量（對里奇張量做[[張量縮併]](tensor contraction)而得），以及<math>G</math>為[[宇宙重力常數]](universal gravitational constant).

== 特殊情况下的应力-能量张量 ==
=== 孤立粒子 ===
在狭义相对论中，质量为''m''的无相互作用粒子的应力-能量张量为：
:<math>T^{\alpha \beta}[t,x,y,z] = \frac{m \, v^{\alpha}[t] v^{\beta}[t]}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \delta(x - x[t]) \delta(y - y[t]) \delta(z - z[t]) </math>

其中δ是[[狄拉克δ函数]]，<math>v^{\alpha} \!</math>是速度矢量：
:<math>
\begin{pmatrix}
v^0 [t] \\ v^1 [t] \\ v^2 [t] \\ v^3 [t]
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
1 \\ {d x [t] \over d t} \\ {d y [t] \over d t} \\ {d z [t] \over d t}
\end{pmatrix}
.</math>

=== 处于平衡状态下的流体的应力-能量张量 ===
对于处于[[热平衡]]状态下的流体，应力-能量张量具有一个特别简单的形式：
:<math>T^{\alpha \beta} \, = (\rho + {p \over c^2})u^{\alpha}u^{\beta} + p g^{\alpha \beta}</math>

其中<math>\rho</math>是质量-能量密度（牛顿每立方米），<math>p</math>是流体静压力（牛顿每平方米），<math>u^{\alpha}</math>是流体的[[四维速度]]，<math>g^{\alpha \beta}</math>是[[度量张量]]的逆。

四维速度满足：
:<math>u^{\alpha} u^{\beta} g_{\alpha \beta} = - c^2 \,.</math>

在随流体一起移动的[[惯性参考系]]中，四维速度为：
:<math>u^{\alpha} = (1, 0, 0, 0) \,,</math>

度量张量的倒数为：
:<math>
g^{\alpha \beta} \, = \left( \begin{matrix}
                   - c^{-2} & 0 & 0 & 0 \\
                   0 & 1 & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 1 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 1    
      \end{matrix} \right)
\,,</math>

应力-能量张量是一个对角矩阵：
:<math>

      T^{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix}
                   \rho & 0 & 0 & 0 \\
                   0 & p & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & p & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & p    
      \end{matrix} \right).
</math>

=== 电磁应力-能量张量 ===
{{main|电磁应力-能量张量}}
一个无源电磁场的应力-能量张量为：
:<math> T^{\mu \nu} (x) = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu \alpha} g_{\alpha \beta} F^{\nu \beta} - \frac{1}{4} g^{\mu \nu} F_{\delta \gamma} F^{\delta \gamma} \right) </math>

其中<math> F_{\mu \nu} </math>是[[电磁张量]]。

=== 标量场 ===
{{main|克莱因-戈尔登方程}}
满足克莱因-戈尔登方程的标量场<math>\phi </math>的应力-能量张量为：
:<math>T^{\mu\nu} = \frac{\hbar^2}{m} (g^{\mu \alpha} g^{\nu \beta} + g^{\mu \beta} g^{\nu \alpha} - g^{\mu\nu} g^{\alpha \beta}) \partial_{\alpha}\bar\phi \partial_{\beta}\phi - g^{\mu\nu} m c^2 \bar\phi \phi .</math>

== 各式各樣的應力-能量張量 ==
存在有一些互不相等的應力-能量張量。
=== 正則(Canonical)應力-能量張量 ===
其為與時空平移相關的[[諾特流]]。
=== 希爾伯特應力-能量張量 ===
應力-能量張量在[[廣義相對論]]中僅能以動態度規來定義。其定義成一個[[泛函導數]](functional derivative)
:<math>T^{\mu\nu}(x)=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \mathcal{S}_{\mathrm{matter}}}{\delta g_{\mu\nu}(x)}</math> 

其中S<sub>matter</sub>是[[作用量]]的非重力部份，為對稱的且有[[規範不變性]]。

=== Belinfante-Rosenfeld應力-能量張量 ===


=== 赝張量(Pseudotensors) ===
[[赝張量]]的例子有[[愛因斯坦赝張量]]與[[藍道-里夫須茲赝張量]](Landau-Lifschitz pseudotensor)。

== 相關條目 ==
* [[能量條件]]
* [[坡印廷向量]]Poynting vector
* [[能量密度#電磁場能量密度|電磁場能量密度]]
* [[電磁應力-能量張量]]
* {{tsl|en|Segre classification|Segre classification}}

== 外部連結 ==
* [https://web.archive.org/web/20060507091733/http://people.hofstra.edu/faculty/stefan_waner/diff_geom/Sec12.html Lecture, Stephan Waner]
* [https://web.archive.org/web/20140530175713/http://www.black-holes.org/numrel1.html Caltech Tutorial on Relativity] — A simple discussion of the relation between the Stress-Energy tensor of General Relativity and the metric

[[Category:廣義相對論所用張量|I]]
[[Category:張量|I]]