查看“懸鏈曲面”的源代码

[[Image:Catenoid.svg|thumb|right|懸鏈曲面]]
[[Image:Catenoid.gif|thumb|right|A catenoid obtained from the rotation of a catenary]]
[[File:Catenoid.png|thumb|right|將[[懸鏈線]]繞其準線旋轉而得的懸鏈曲面]]

'''懸鏈曲面'''（又名''懸垂曲面''）是一个[[曲面]]，是將[[懸鏈線]]繞其準線旋轉而得（見右側動畫），故為一[[旋轉曲面]]。除了[[平面 (数学)|平面]]以外，懸鏈曲面也是第一個被发现的[[极小曲面|极小曲面]]，在1744年被[[萊昂哈德·歐拉]]发现且證明。<ref>L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744, in: Opera omnia I, 24</ref>Jean Baptiste Meusnier也做了些早期的研究。<ref>Meusnier, J. B. "Mémoire sur la courbure des surfaces." Mém. des savans étrangers 10 (lu 1776), 477-510, 1785</ref>只有兩個曲面既為旋轉曲面又是最小曲面，即為平面與懸鏈曲面。<ref>[http://mathworld.wolfram.com/Catenoid.html Catenoid at MathWorld]</ref>
懸鏈曲面可被以下參數式所定義：
:<math>x=c \cosh \frac{v}{c} \cos u</math>
:<math>y=c \cosh \frac{v}{c} \sin u</math>
:<math>z=v</math>

其中<math>u \in [-\pi, \pi)</math>，<math>v \in \mathbb{R}</math>且<math>c</math>為非零實數。
在圓柱座標系則有：
:<math>\rho =c \cosh \frac{z}{c}</math>
其中<math>c</math>為實數。

把兩個圓形浸泡於一肥皂溶液裏，再緩慢地把那兩個圓形分隔開，就可以製作出一個懸鏈曲面的物理模型。

==螺旋面變換==

[[Image:helicatenoid.gif|thumb|right|256px|此動畫展示了[[螺旋面]]如何變型成懸鏈曲面]]
[[螺旋面]]與懸鏈曲面屬同一[[相關曲面]]，我們可以在不拉縮的情況下將懸鏈曲面扳成螺旋面。也就是說，我們可以用一個[[連續函數|連續]]且[[等距同構|等距]]的變換將懸鏈曲面變成螺旋面的一部份，且在變型的每一瞬間，曲面皆為最小曲面。此變換可由下列式子給出：

:<math>x(u,v) = \cos \theta \,\sinh v \,\sin u + \sin \theta \,\cosh v \,\cos u</math>

:<math>y(u,v) = -\cos \theta \,\sinh v \,\cos u + \sin \theta \,\cosh v \,\sin u</math>

:<math>z(u,v) = u \cos \theta + v \sin \theta \,</math>

:注意<math>(u,v) \in (-\pi, \pi] \times (-\infty, \infty)</math>，且變換參數<math>\theta</math>滿足<math>-\pi < \theta \le \pi</math>，

其中
<math>\theta = \pi</math>對應到右旋螺旋面， 
<math>\theta = \pm \pi / 2</math>對應到懸鏈曲面，
<math>\theta = 0</math>對應到左旋螺旋面。

== 參見 ==
*[[幾何學|幾何]]
*[[曲面]]

[[Category:曲面]]