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在[[黎曼几何]]中，'''截面曲率'''是描述[[黎曼流形的曲率]]的一种方式。截面曲率<math>K(\sigma_p)</math> 依赖于''p''点的切空间裡的一个二维平面 <math>\sigma_p</math> 。它就定义为该截面，考慮在 ''p'' 点以平面 <math>\sigma_p</math> 作为切平面的[[曲面]] <math display="inline">S_p</math>，這曲面是收集流形中某包含 <math>p</math> 的鄰域內從 ''p'' 点出發的測地線且這測地線在 <math>p</math> 點的切向量屬於截面 <math>\sigma_p</math> （換句話說就是 <math display="inline">S_p=\exp_p U</math> 其中  <math display="inline">U\subseteq \sigma_p</math> 是 <math display="inline">\sigma_p</math> 里包含原點的鄰域）<sub>，</sub>而截面曲率 <math>K(\sigma_p)</math> 就是曲面 <math>S_p</math> 在 <math>p</math> 點的[[高斯曲率]]。形式上，截面曲率是流形上的2维[[格拉斯曼]][[纤维丛]]的光滑实值函数。

截面曲率完全决定了[[曲率张量]]，是非常有用的几何概念。

==定义==

设 ''M'' 为黎曼流形，&sigma; 为 ''M'' 上 ''p'' 点处切空间中的二维平面，''u'' 和 ''v'' 为 &sigma; 中两个线性无关的向量。
则关于 &sigma; 的截面曲率定义为
:<math>K(\sigma)={\langle R(u,v)v,u\rangle\over |u|^2 |v|^2-\langle u,v\rangle^2}</math>
其中 ''R'' 是 ''M'' 的[[黎曼曲率张量]]。

==常截面曲率流形==

常截面曲率的[[黎曼流形]]是最简单的类型。它们称为[[空间形式]]。通过缩放度量，它们有三种情况
*负曲率&minus;1， [[双曲几何]]
*零曲率，[[欧几里得几何]]
*正曲率+1，[[椭圆几何]]
三类几何的模型流形分别是[[双曲空间]]，[[欧几里得空间]]和单位[[球面]]。它们是对于这些给定的截面曲率唯一可能的[[完备空间|完备]][[单连通]]黎曼流形，所有其它常曲率流形是它们在某个[[等距映射]]群下的商。

==性质==

*完备黎曼空间有非负的截面曲率，当且仅当函数<math>f_p(x)=dist^2(p,x)</math>对于所有点''p''是一个1-[[黎曼和度量几何术语|凹]]函数。
*一个完备单连通黎曼流形有非正截面曲率，当且仅当函数<math>f_p(x)=dist^2(p,x)</math>是1-[[黎曼和度量几何术语|凸]]函数。

==参看==

*[[黎曼曲率张量]]
*[[黎曼流形的曲率]]
*[[曲率]]

{{曲率}}

[[Category:黎曼几何]]
[[Category:曲率]]