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{{refimprove|time=2018-03-30T01:34:26+00:00}}
[[File:Quintic_polynomial.svg|缩略图|在[[仿射空间|仿射平面]]的扎里斯基拓撲中，此多项式的圖像是閉集。]]
在[[代数几何]]和[[交換代數|交换代数]]中，'''扎里斯基拓扑'''是定義在[[代数簇]]上的[[拓扑空间|拓扑]]。其由[[奥斯卡·扎里斯基]]首先提出，及後用作給出一般[[交换环]]的[[素理想]]集的拓撲結構，稱為[[環的譜|環的谱]]。

有了扎里斯基拓扑，無論一個代數簇的[[域 (數學)|基域]]是否一個拓撲域（即一個域，其上可定義一個拓撲，使得加法和乘法都是連續函數），都可應用[[拓扑学]]的工具到代数簇的研究上。这是[[概形|概形论]]的基本思想，有了它才允许將多個仿射簇黏合，而成一個一般的代數簇，正如[[流形]]理论中，流形由多個[[图册 (拓扑学)|坐标卡]]（實[[仿射空间|仿射空间的開集]]）黏合而成一樣。

將一個代數簇的代數子集定義為閉集，就得到該代數簇的扎里斯基拓扑。若該代數簇定義在[[复数 (数学)|复数]]上，則扎里斯基拓扑比通常的拓扑结构更[[拓撲比較|粗糙]]，因为每一个代数集在通常的拓撲中也都是闭集。

扎里斯基拓撲在交換環的素理想集上的推廣可從[[希尔伯特零点定理]]得到，因為該定理說，[[代數閉域]]上的仿射簇的點，與該仿射簇的坐標環的[[极大理想]]一一對應。因此可如下定義一個交換環的極大理想集上的扎里斯基拓撲：若干極大理想的集合是閉集，當且僅當該些極大理想就是包含某一理想的所有極大理想。[[亚历山大·格罗滕迪克|格罗滕迪克]]的概形論中還有另一個基本思想，就是不單考慮對應某個極大理想的點，還要考慮任意（不可約的）代數簇，即對應[[素理想]]的點。 所以交換環的素理想集（稱為「譜」）上的'''扎里斯基拓撲'''滿足：若干素理想的集合為閉集，當且僅當該些素理想就是包含某一理想的所有素理想。

== 代數簇的扎里斯基拓撲 ==
在古典的（即[[亚历山大·格罗滕迪克|格罗滕迪克]]尚未於約 1960 年提出[[概形]]概念前）代數幾何，扎里斯基拓撲是定義在[[代数簇]]上的。<ref>{{Citation|title=The red book of varieties and schemes|year=1999|last1=Mumford|first1=David|origyear=1967|series=Lecture Notes in Mathematics|volume=1358|edition=expanded, Includes Michigan Lectures (1974) on Curves and their Jacobians|location=Berlin, New York|publisher=[[Springer-Verlag]]|doi=10.1007/b62130|isbn=978-3-540-63293-1|mr=1748380}}</ref> 扎里斯基拓撲定義該代數簇的[[代数簇|代數子集]]為[[閉集]]。由於最簡單的代數簇就是仿射簇和射影簇，有必要先明確給出其上扎里斯基拓撲的詳細定義。以下取定 ''k'' 為一個[[代數閉域]]（古典代數幾何的 ''k'' 幾乎總是[[复数 (数学)|複數域]]）。

=== 仿射簇 ===
首先定义[[仿射空间]] <math>\mathbb{A}^n</math>（即 ''k'' 上的 ''n'' 維向量空間）上的拓撲。這個拓扑是通過指定其閉集，而非指定其開集來定義的。其所有閉集就是
:<math>V(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}</math>
其中 ''S'' 是 ''k'' 上任意的若干個 ''n'' 元多項式的集合。 可以驗證：
* ''V''(''S'') = ''V''((''S'')), 其中 (''S'') 是由 ''S'' 的元素生成的[[理想 (环论)|理想]]；
* 對任意兩個由多項式組成的理想 ''I'', ''J'', 有
*# <math>V(I) \cup V(J)\,=\,V(IJ);</math>
*# <math>V(I) \cap V(J)\,=\,V(I + J).</math>
因此，形如 ''V''(''S'') 的集合，其有限並和任意交亦將具有此种形式，從而以該些集合為閉集，可以定義一個拓撲結構。（這等價於，它們的補集就是該拓撲的所有開集。記 ''V(S) ''的補集為 ''D''(''S'')，称为''主开集 ''）此謂之Z <math />

若 ''X'' 是一个仿射代數集（不論可約與否），則可將 ''X'' 視為某 <math>\mathbb{A}^n</math> 的子空間，並定義 ''X'' 上的扎里斯基拓撲為 <math>\mathbb{A}^n</math> 的扎里斯基拓撲的[[子空间拓扑]]。等價地，可以驗證：
* 坐標环
::<math>A(X)\,=\,k[x_1, \dots, x_n]/I(X)</math>
的元素作用在 ''X'' 上，正如 <math>k[x_1, \dots, x_n]</math> 的元素作用在 <math>\mathbb{A}^n;</math>
* 对任何的多项式集 ''S'', 設 ''T'' 為其在 ''A(X)'' 的像，則 ''X ''的子集
::<math>V'(T) = \{x \in X \mid f(x) = 0, \forall f \in T\}</math>
等於 ''X'' 與 ''V(S) ''的交。

這就說明可以在任意仿射簇上定義一個扎里斯基拓撲。

=== 射影簇 ===
在 <math>\mathbb{A}^{n+1}</math> 中，視任兩個相差 ''k'' 中的標量倍的點為等同，這樣得到的等價類的集合稱為 ''n'' 維[[射影空間]] <math>\mathbb{P}^n.</math> 多項式環 <math>k[x_0, \dots, x_n]</math> 中的元素不都是 <math>\mathbb{P}^n</math> 上的函數，因為即使是同一點，也能以不同的坐標表示，而代入一個多項式時便會得到不同的值；但是卻可以確定一個[[齊次多項式]]在某點是否為零，因為如果一點能以兩組坐標表示，則一組為另一組的標量倍，而該標量可以在齊次多項式各項中提取出來。所以若 ''S'' 為若干個齊次多項式的集合，則可定義
: <math>V(S) = \{x \in \mathbb{P}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}.</math>
上一節的幾個結論，把「理想」一詞換成本節的「齊次理想」之後，將繼續適用。於是，對任意的齊次多項式集 ''S, ''以 ''V''(''S'') 為閉集，可以定義 <math>\mathbb{P}^n.</math> 同樣以 ''D''(''S'') 表示 ''V(S)'' 的補集，但當可能引起誤會時，改為用 ''D′''(''S'').

要定義射影代數集上的射影扎里斯基拓撲，正如定義仿射代數集上的仿射扎里斯基拓撲，將之定義為相應的射影空間的子空間拓撲即可。又或者，這個拓撲是射影坐標環內蘊的：根據仿射簇一節的等式，可以僅用坐標環的子集定義出一個射影代數集上的扎里斯基拓撲。

=== 性質 ===
此種拓撲都具有一組[[基 (拓撲學)|基]]，該組基由對應每個多項式（對於射影簇，則為齊次多項式）''f'' 的 ''D''(''f'') 組成。要證明这些形式的元素組成一組基，可以考慮 (''S'') 的各生成元所生成的主理想，並反覆運用兩個閉集的交的公式。这些'' D(f) ''称为 ''特異 ''({{lang-en|distinguished}}) 開集或 ''基 ''({{lang-en|basic}}) 开集。

由[[希尔伯特基定理]]和[[諾特環]]的基本性質，每個仿射或射影坐標環都是諾特環。於是，具有扎里斯基拓撲的仿射或射影空間都是{{link-en|諾特拓撲空間|Noetherian topological space}}，故其中每一個閉集都是[[紧空间|緊]]的。

然而，除了有限代數集，並無代數集是[[豪斯多夫空间]]。某些舊文獻要求緊空間必須是豪斯多夫的，而代數幾何通常沿用這個定義。於是，現今較常見的「緊」的意思，在代數幾何學表達為「擬緊」({{lang-en|quasicompact}}) 。不過因為每個點 (''a<sub>1</sub>'', ..., ''a<sub>n</sub>'') 都是多項式 ''x<sub>1</sub>'' - ''a<sub>1</sub>'', ..., ''x<sub>n</sub>'' - ''a<sub>n</sub>'' 的零點集的唯一元素，單點集是閉集，所以每個簇都滿足[[T1空间|''T<sub>1</sub>'' 公理]]。

簇之間的正則映射相對其上的扎里斯基拓撲是[[连续函数|连续的]]。而且，假如要求單點集均為閉集，又要保持正則映射的連續性，則扎里斯基拓撲是最弱（最少開集）而仍滿足要求的拓撲。原因是，扎里斯基拓撲的閉集就是若干個多項式函數對 {0} 的原像的交，而多項式函數可視為映到<math>\mathbb{A}^1</math> 的正則函數。

== 環的譜 ==
{{main|環的譜}}
现代代数几何裏，一个代數簇经常用其對應的[[概形]]表示。这是一种[[局部同胚]]於一個[[環的譜]]的[[拓扑空间]]（此外還具有其他結構）。<ref>{{cite book|title=Abstract Algebra|first1=D. S.|last2=Foote|first2=R.|publisher=Wiley|year=2004|isbn=9780471433347|edition=3|pages=71–72|last1=Dummit}}</ref> 交換環''Ａ'' 的 ''譜 ''记为 <span class="texhtml">Spec(''A'')</span>，是配備了扎里斯基拓撲的 ''A'' 的素理想集，其中闭集具有形式
: <math>V(I) = \{P \in \operatorname{Spec}\,(A) \mid I \subseteq P\}</math>
當中 ''I'' 是一個理想。

這個定義與古典的定義有很大關係。根據[[希尔伯特零点定理]]，''V''(''S'') （按舊定義）有點 (''a<sub>1</sub>'', ..., ''a<sub>n</sub>'') 當且僅當理想 (''x<sub>1</sub>'' - ''a<sub>1</sub>'', ..., ''x<sub>n</sub>'' - ''a<sub>n</sub>'') 包含 ''S''；此外，由「弱」零點定理可知，該些理想均為極大理想，且任何仿射坐標環中的極大理想均具有此種形式。所以，''V''(''S'') 與包含 ''S ''的所有極大理想的集合是一樣的。格羅滕迪克定義 Spec 的創新之處，是他將極大理想換成素理想。這樣也可自然地定義環的譜上的閉集。

另一個詮釋現代定義的方法更貼近舊有的。以下將給出一種方法，使 ''A'' 的元素可以作為 ''A ''的素理想集上的函數，因此也是 Spec ''A ''上的函數。注意每個素理想 ''P'' 都對應一個{{link-en|剩餘域|residue field}} ，即整環'' A''/''P ''的[[分式環|分式域]]。此外，''P''  的元素正是那些映到 ''A''/''P'' 會變成 0 的元素，所以對應 ''A'' 的每個元素 ''a'' ，可以定義以下映射：
: <math>e_a \colon \bigl(P \in \operatorname{Spec}(A)\bigr) \mapsto \left(\frac{a \; \bmod P}{1} \in \operatorname{Frac}(A/P)\right)</math>
（「對 ''a'' 求值」），其將每個素理想映到 ''a'' 在該素理想的剩餘域的像。如此，定義了 Spec ''A'' 上的函數（儘管其取值不都在同一個域上），且有
: <math>e_a(P)=0 \Leftrightarrow  P\in V(a)</math>
一般來說， 對任意的理想 ''I'','' V''(''I'')是使 ''I'' 中所有「函數」都取零值的點的集合，與古典的定義具有同樣形式。若 ''A'' 為代數閉域 ''k ''上的多項式環，則 ''A'' 中的極大理想與 ''k ''的元素的 ''n'' 元組一一對應，且其剩餘域就是 ''k'', 而「求值」運算正是將該 ''n'' 元組代入多項式中求值。從而本段的定義與古典的定義一致，即古典定義就是只考慮極大理想的現代定義，而當現代定義和古典定義兩者皆適用時，也可將現代定義理解成「若干函數的零點集」。

正如 Spec 取代了仿射簇，{{link-en|Proj構造|Proj construction}}在現代代數幾何中取代了射影簇。如同古典的情況，從仿射到射影，只須把理想皆換成齊次理想即可，不過此時要額外考慮無關極大理想({{lang-en|irrelevant maximal ideal}}) 帶來的特殊情況。

=== 例子 ===
[[File:Spec_Z.png|右|缩略图|400x400像素|ℤ的譜]]
* Spec ''k'', [[域 (數學)|域]] ''k'' 的譜，是只有一個元素的拓撲空間。
* Spec &#x2124;, [[整数|整数環]]的譜，其內對應每個[[素数]] ''p ''有一個閉點，因為 &#x2124; 有[[極大理想]] (''p'') ⊂ &#x2124;&#xFF0C;&#x9084;&#x6709;&#x4E00;&#x500B;&#x4E0D;&#x662F;&#x9589;&#x7684;{{link-en|泛點|generic point}}（即閉包為整個空間的點）對應零理想 (0). 所以 Spec &#x2124; 中的閉集有且只有整個空間，以及有限個閉點組成的集合。 
* Spec ''k''[''t''], 域 ''k'' 上[[多项式环]]的譜。該環是一個[[主理想整环]]，而[[不可约多项式]]為其中的[[質元素]]。若 ''k'' 是一個[[代數閉域]]，例如[[复数]]域，則一個非常數的多項式不可約當且僅當其為一次多項式，形如 ''t'' − ''a'', 其中 ''a'' 是 ''k'' 的某個元素。所以，譜中對應 ''k'' 的每個元素 ''a'' 有一個閉點，還有一個泛點對應零理想。可以證明閉點組成的集合與具備扎里斯基拓撲的[[仿射空间|仿射直線]] ''k'' [[同胚]]。因此，一些作者也稱 Spec ''k''[''t''] 為仿射直線。 若 ''k'' 不是代數閉域，例如[[實數]]域，''k''[''t''] 中就有不可約也非一次的多項式，這使情況變得複雜。&#x211D;[''t''] 的譜有閉點 (''x'' − ''a''), 其中 ''a'' 為 &#x211D;&#x20;&#x7684;&#x4EFB;&#x610F;&#x5143;&#x7D20;&#xFF0C;&#x4E5F;&#x6709;&#x9589;&#x9EDE; (''x''<sup>2</sup> + ''px'' + ''q''), 其中 ''p'', ''q'' 為 &#x211D; 的元素，且須滿足[[判别式]] ''p''<sup>2</sup> − 4''q'' < 0，最後還有泛點 (0). 對任何域，Spec ''k''[''t''] 中的閉集有且只有整個空間，以及有限個閉點組成的集合。（本段僅證明了結論對代數閉域成立。一般情況的證明需要用到[[交換代數]]的一個結果：''k''[''t''] 的[[克鲁尔维数]]為 1。也參見{{link-en|克魯爾主理想定理|Krull's principal ideal theorem}}）

=== 性質 ===
新的扎里斯里拓撲跟古典的最大分別在於，新拓撲中的點無須為閉點。格羅滕迪克引入了泛點，以擴展此定義。泛點即有最大閉包的點，其對應包含零理想的{{link-en|最小素理想|minimal prime ideal}}。而閉點則對應 ''A ''的極大理想。不過注意，譜和射影譜也是'' T<sub>0</sub>'' 空間，因為給定任意兩點 ''P'', ''Q'', 其對應 ''A'' 中的兩個互異的素理想，故必一個不包含另一個，假設 ''P'' 不包含 ''Q'', 則 ''D ''(''Q'') 包含 ''P''，但不包含'' Q''.

正如在古典代數幾何所見，任何譜或射影譜都是（擬）緊的，且若該環為諾特環，則其譜是諾特空間。但是，這與一般直覺有所抵觸。平常若一個開集是緊的，則其為空間的某個[[连通空间|連通分支]]，而對仿射空間（例如歐幾里得空間）來說，整個空間並非緊的。可見扎里斯基拓撲在幾何上有其不當之處。格羅滕迪克引入了{{link-en|正常性|proper morphism}}的概念，用來描述概形和概形間的態射，使得緊的概念回復直觀。其中 Proj 是正常的，但 Spec 不是。

== 參見 ==
* [[環的譜]]

== 參考資料 ==
{{reflist}}

== 延伸閱讀 ==
* {{Citation|last=Hartshorne|first=Robin|title=[[Algebraic Geometry (book)|Algebraic Geometry]]|year=1977|author-link=Robin Hartshorne|location=Berlin, New York|publisher=[[Springer-Verlag]]|isbn=978-0-387-90244-9|mr=0463157|oclc=13348052}}
* {{MathWorld|title=Zariski Topology|urlname=ZariskiTopology|author=Todd Rowland}}

[[Category:点集拓扑学|Z]]
[[Category:交換代數|Z]]
[[Category:代數幾何|Z]]