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{{NoteTA|G1=Math|G2=Physics}}
{{dablink|本文介绍联络的挠率，关于挠率的其他用法，参见[[挠率]]。}}
[[File:Torsion along a geodesic.svg|right|thumb|沿着测地线的挠率]]

在[[微分几何]]中，'''扭率'''或稱'''挠率'''此一概念是刻画沿着曲线[[活动标架|移动的标架]]的扭曲或[[螺旋理论|螺旋]]的方法。例如[[曲线的挠率]]，出现在[[弗莱纳公式]]中，量化了一条曲线变化时关于它的切向量的扭曲程度（更确切的说[[弗莱纳公式|弗莱纳标架]]关于切向量的旋转）。在曲面的几何中，“测地挠率”描述了曲面关于曲面上一条曲线的扭曲。相伴的[[曲率]]概念度量了沿着曲线的活动标架“没有扭曲的转动”。

更一般地，在装备一个[[仿射联络]]（即[[切丛]]的一个[[联络 (向量丛)|联络]]）的[[微分流形]]上，挠率与曲率构成了联络的两个基本不变量。在这种意义下，挠率给出了[[切空间]]关于一条曲线[[平行移动]]怎样扭曲的内蕴刻画；而曲率描述了切空间沿着曲线怎样旋转。挠率可具体的描述为一个[[张量]]，或一个[[向量值形式|向量值]][[微分形式|2-形式]]。如果 ∇ 是微分流形上一个联络，那么挠率张量用向量场 ''X'' 与 ''Y'' 表示定义为：
:<math>T(X,Y) = \nabla_XY-\nabla_YX - [X,Y]</math>
这里 [''X'',''Y''] 是[[向量场的李括号]]。

挠率在[[测地线]]几何的研究特别重要。给定一个参数化测地线系统，我们一定指定一族仿射联络具有这些测地线，但是具有不同的挠率。具有惟一“吸收挠率”的联络，将[[列维-奇维塔联络]]推广到其他，也许没有度量的情形（比如[[芬斯勒几何]]）。吸收挠率在[[G-结构]]与[[嘉当等价方法]]的研究中也起着重要的作用。挠率通过关联的[[射影联络]]在研究测地线非参数族也很有用。在[[相对论]]中，这种想法以[[爱因斯坦-嘉当理论]]的形式提供了工具。

==挠率张量==
设 ''M'' 是切丛上带有联络 ∇ 的流形。'''挠率张量'''（有时也称为嘉当（挠率）张量）是一个[[向量值形式|向量值 2-形式]]，定义在向量场 ''X'' 于 ''Y''上

:<math>T(X, Y) := \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y]\ ,</math>
这里 [''X'',''Y''] 是两个向量场的[[向量场的李括号|李括号]]。由[[莱布尼兹法则 (广义乘积法则)|莱布尼兹法则]]，对任何[[光滑函数]] ''f'' 有 ''T''(''fX'',''Y'') = ''T''(''X'',''fY'') = ''fT''(''X'',''Y'')。所以 ''T'' 是一个[[张量]]，尽管是用非张量的[[共变导数]]定义的：它给出了切向量上的一个 2 形式，但共变导数只对向量场有定义。

===曲率和比安基恒等式===
联络 ∇ 的[[曲率张量]]是一个映射 T''M'' ∧ T''M'' → End(T''M'') ，定义在向量场 ''X'', ''Y'', 与 ''Z'' 上
:<math>R(X,Y)Z = \nabla_X\nabla_YZ - \nabla_Y\nabla_XZ - \nabla_{[X,Y]}Z\ .</math>
注意，对位于一点的向量，这个定义与这个向量如何扩张成一个向量场的方式无关（即定义了一个张量，类似于挠率）。

'''比安基恒等式'''联系了曲率和挠率。<ref>See Kobayashi-Nomizu (1996) Volume 1, Proposition III.5.2.</ref> 将 ''X'', ''Y'' 与 ''Z'' 的[[循环排列|循环求和]]记为 <math>\mathfrak{S}</math>，例如

:<math>\mathfrak{S}\left(R(X,Y)Z\right) := R(X,Y)Z + R(Y,Z)X + R(Z,X)Y\ .</math>
那么下面的公式成立

1. '''比安基第一恒等式'''： 
::<math>\mathfrak{S}\left(R(X,Y)Z\right) = \mathfrak{S}\left(T(T(X,Y),Z)+(\nabla_XT)(Y,Z)\right)\ ,</math>

2. '''比安基第二恒等式'''：
::<math>\mathfrak{S}\left((\nabla_XR)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)\right)=0\ .</math>

===挠率张量的分量===
挠率张量在切丛的局部[[截面 (向量丛)|截面]]的[[向量空间的基|基]] ('''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>n</sub>) 下可写成分量 <math> T^c{}_{ab} </math>。令 ''X''='''e'''<sub>i</sub>，''Y''='''e'''<sub>j</sub>，引入交换子系数 γ<sup>k</sub><sub>ij</sub>'''e'''<sub>k</sub> := ['''e'''<sub>i</sub>,'''e'''<sub>j</sub>]。那么挠率的分量是

:<math> T^k{}_{ij} := \Gamma^k{}_{ij} - \Gamma^k{}_{ji}-\gamma^k{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots,n.</math>

如果基是[[和乐 (曲率)|和乐]]的，则李括号变为零，<math>\gamma^k{}_{ij}=0</math>，从而 <math>T^k{}_{ij}=2\Gamma^k{}_{[ij]}</math>。特别地（见下），[[测地线|测地线方程]]确定联络的对称部分，而挠率张量确定反对称部分。

===挠率形式===
'''挠率形式'''，是挠率的另一种刻画，适用于 ''M'' 的[[标架丛]] F''M''。这个[[主丛]]装备有一个[[联络 (主丛)|联络形式]] ω，一个 '''gl'''(''n'')-值的 1-形式将竖直向量映到 '''gl'''(''n'') 中的右作用的生成元，且通过在 '''gl'''(''n'') 上的[[伴随表示]]等变纠缠于 GL(''n'') 在 F''M'' 的切丛上的右作用。标架丛也带有一个[[焊接形式|典范 1 形式]] θ，取值于
'''R'''<sup>n</sup>，定义在标架 ''u'' ∈ F<sub>x</sub>''M''（视为一个线性函数 ''u'' : '''R'''<sup>n</sup> → T<sub>x</sub>''M''）为

:<math>\theta(X) = u^{-1}(d\pi(X))</math>

这里 π : F''M'' → ''M'' 是主丛的投影映射。那么挠率形式是

:<math>\Theta = d\theta + \omega\wedge\theta\ .</math>

等价地， Θ = Dθ，这里 ''D'' 是由联络确定的[[外共变导数]]。

挠率形式是一个取值于 '''R'''<sup>n</sup>的（水平）[[向量值形式|扭曲形式]]，意味着在  ''g'' ∈ Gl(''n'') 的右作用下等变：
:<math>R_g^*\Theta = g^{-1}\cdot\Theta\ ,</math>
这里 ''g'' 通过它在  '''R'''<sup>n</sup> 上的基本表示作用在左边。

===曲率形式与比安基恒等式===
[[曲率形式]]是 '''gl'''(''n'')-值 2-形式
:<math>\Omega = D\omega = d\omega + \omega\wedge\omega\ .</math>
这里，''D'' 同样表示外共变导数。用曲率形式和挠率形式表示，相应的比安基恒等式为：
<ref>Kobayashi-Nomizu (1996) Volume 1, III.2.</ref>
# <math>D\Theta = \Omega\wedge\theta</math>
# <math>D\Omega = 0.\,</math>

进一步，我们可以从曲率形式和挠率形式复原曲率和挠率。在 F<sub>x</sub>''M'' 中的点 ''u''，我们有<ref>Kobayashi-Nomizu (1996) Volume 1, III.5.</ref>
:<math>R(X,Y)Z = u\left(2\Omega(\pi^{-1}(X),\pi^{-1}(Y))\right)(u^{-1}(Z)),</math>
:<math>T(X,Y) = u\left(2\Theta(\pi^{-1}(X),\pi^{-1}(Y))\right),</math>
这里 ''u'' : '''R'''<sup>n</sup> → T<sub>x</sub>''M'' 是确定纤维中标架的函数，且向量通过 π<sup>-1</sup> 的提升与选取无关，因为曲率和挠率形式是水平的（它们在不确定的竖直向量上为 0）。

====标架中的曲率形式====
{{See also|联络形式}}
挠率形式可用底流形 ''M'' 上的[[联络形式]]，在切丛的一个特殊的标架 ('''e'''<sub>1</sub>,...,'''e'''<sub>n</sub>) 下写出。联络形式表述这些截面的外共变导数
:<math>D{\mathbf e}_i = \sum_{j=1}^n {\mathbf e}_j\omega_i^j\ .</math>

切丛的[[焊接形式]]（关于这个标架）是 '''e'''<sub>i</sub> 的[[对偶基]] θ<sup>i</sup> ∈ T<sup>*</sup>''M''，所以 θ<sup>i</sub>('''e'''<sub>j</sub>) = δ<sup>i</sup><sub>j</sub> （[[克罗内克函数]]）

那么挠率 2-形式有分量
:<math>\Theta^k = d\theta^k + \sum_{j=1}^n\omega^k_j\wedge\theta^j = \sum_{i,j}T_{ij}^k \theta^i\wedge\theta^j\ .</math>

在最右边的表达式中，
:<math>T_{ij}^k = \theta^k(\nabla_{\mathbf e_i}\mathbf e_j - \nabla_{\mathbf e_j}\mathbf e_i - [\mathbf e_i,\mathbf e_j])</math>
是挠率张量的标架分量，由首先的定义给出。

容易证明 Θ<sup>i</sup> 像张量一个变化：如果另一个标架
:<math>\tilde{\mathbf e}_i = \sum_j \mathbf e_j g_i^j</math>
对某个可逆矩阵值函数 (''g''<sub>i</sub><sup>j</sup>)，那么
:<math>\tilde{\Theta}^i = (g^{-1})^i_j\Theta^j.</math>
换句话说，Θ 是 (1,2) 型张量（一个反变、两个共变指标）。

做为另一种选择，焊接形式能用无标架形式刻画为 ''M'' 上的 T''M''-值 1形式θ，在对偶同构  End(T''M'') ≈ T''M'' ⊗ T<sup>*</sup>''M'' 下对应于切丛的恒等同态。则挠率 2-形式是 
:<math>\Theta\in\text{Hom}(\wedge^2 TM, TM)</math>
的一个截面，由
:<math>\Theta = D\theta\ ,</math>
给出。这里 ''D'' 是[[外共变导数]]（更多细节参见[[联络形式]]）。

===不可约分解===
挠率张量可以分解为两个[[不可约分解|不可约]]部分：不含[[迹]]的部分与包含迹的部分。用[[指标记法]]，''T'' 的迹为
:<math>a_i = T^k_{ik}\ ,</math>
不含迹的部分为
:<math>B^i_{jk} = T^i_{jk} + \frac{1}{n-1}\delta^i_ja_k-\frac{1}{n-1}\delta^i_ka_j </math>
这里 &delta;<sup>i</sub><sub>j</sub> 是[[克罗内克函数]]。

本质上有，
:<math>T\in \operatorname{Hom}\left(\wedge^2 TM, TM\right)\ .</math>
''T'' 的迹 tr ''T''，是如下定义的 T<sup>*</sup>''M'' 中一个元素。对固定的任何向量''X''&nbsp;&isin;&nbsp;T''M''，''T'' 定义了一个 Hom(T''M'', T''M'') 中一个元素 ''T''(''X'')，通过
:<math>T(X) : Y \mapsto T(X\wedge Y)\ .</math>
那么 (tr ''T'')(''X'') 定义为这个同态的迹。这就是，
:<math>(\operatorname{tr}\, T)(X) \stackrel{\text{def}}{=}\operatorname{tr} (T(X))\ .</math>

''T'' 不含迹的部分为
:<math>T_0 = T - \frac{1}{n-1}\iota(\operatorname{tr} \,T)</math>
这里 &iota; 表示[[内乘]]。

作为比安基恒等式的推论，1-形式 tr T 是一个[[闭微分形式|闭]] 1-形式：
:<math>d(\operatorname{tr}\, T) = 0\ ,</math>

这里 ''d'' 是[[外导数]]。

==特征描述与解释==
这一节中总是假设：''M'' 是[[微分流形]]，∇ 是 ''M'' [[切丛]]上的[[共变导数]]除非另外指明。

===仿射进化===
假设 ''x''<sub>t</sub> 是 ''M'' 上一条曲线。''x''<sub>t</sub> 的[[仿射几何|仿射]]{{tsl|en|development (differential geometry)|进化 (微分几何)|进化}}定义为 T<sub>x<sub>0</sub></sub>''M'' 中惟一的曲线 ''C''<sub>t</sub> 使得
:<math>\dot{C}_t = \tau_t^0\dot{x}_t,\quad C_0 = 0</math>
这里
:<math>\tau_t^0 : T_{x_t}M \to T_{x_0}M</math>
是与 ∇ 关联的[[平行移动]]。

特别地，如果 ''x''<sub>t</sub> 是一个[[闭环路]]，则 ''C''<sub>t</sub> 是否闭取决于联络的挠率。从而挠率解释为曲线的 development 的[[位错#螺位错|螺位错]]。这样，挠率与联络的[[和乐 (曲率)|和乐]]转移分量联系起来。相伴的曲率概念描绘了无穷小线性变换（在[[黎曼联络]]情形或为旋转）。

===参考标架的扭曲===
在经典[[曲线的微分几何]]中，[[弗莱纳公式]]描述了一个特别的活动标架（[[弗莱纳公式|弗莱纳标架]]）沿着一条曲线怎样“扭曲”。用物理语言，挠率对应于一个假想的沿着曲线的[[陀螺]]的[[角动量]]。

带有（度量）联络的流形可类比地解释。假设一个观察者沿着这个联络下的测地线移动。这个观察者通常认为自己是在[[惯性参考系]]中，因为她没有经历过[[加速度]]。另外假设观察者携带着一个刚性直测量杆系统（一个[[坐标系]]）。每根杆都是直线段，一条测地线。假设每根杆沿着轨道都是[[平行移动]]，这些杆是沿着轨迹物理的“携带”的事实意味着是“[[索菲斯·李|李]]拖曳”或传播，所以沿着切向量每根杆子的[[李导数]]为零。类似于[[弗莱纳公式|弗莱纳标架]]上的陀螺，它们可能经受力矩（或扭力）。这个力便由挠率衡量。

更准确地，假设观察者沿着测地线 &gamma;(''t'') 移动，携带着一个测量杆。当观察者移动时，杆子扫过一个曲面。沿着这个曲面有一个自然坐标系 (''t'',''x'')，这里 ''t'' 是由观察者确定的时间参数，''x'' 是沿着测量杆的长度。测量杆须沿着曲线平行移动的条件为
:<math>\left.\nabla_{\partial/\partial \tau}\frac{\partial}{\partial x}\right|_{x=0} = 0.</math>

从而，挠率由

:<math>\left.T\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial \tau}\right)\right|_{x=0} = \left.\nabla_{\frac{\partial}{\partial x}}\frac{\partial}{\partial \tau}\right|_{x=0}.</math>

给出。如果不是零，则杆上标出的这点（点 ''x''&nbsp;=&nbsp; 常曲线）的轨迹为螺旋而不是测地线。它们将绕着观察者旋转。

这种挠率的解释在[[平行引力]]理论中扮演着重要的角色。平行引力理论，也称为[[爱因斯坦-嘉当理论]]，是[[相对论]]的一种替代性表述。

===纤维的挠率===
在[[材料科学]]中，特别是弹性理论，挠率的想法也扮演着重要的角色。其中一个问题<ref>Goriely ''et al'' (2006).</ref>是[[攀缘植物|藤]]生长的建模，专注于藤如何能绕着对象缠绕。藤自身模型化为一对相互缠绕的弹性纤维。在其能量极小状态，藤自然生长成一个螺旋状。但是藤也有可能伸长以达到广度（或长度）最大化。在此情形，藤的挠率与这对纤维的挠率有关（或等价地，链接两条纤维的带子的曲面挠率），这反映了藤的长度最大化（测地线）布局与能量最小化布局之间的差异。

===挠率与涡旋===
在[[流体力学]]中，挠率自然与[[涡度|涡线]]相关。

==测地线与挠率的吸收==
假设 γ(''t'') 是 ''M'' 上一条曲线。则 γ 是一条'''仿射参数化测地线'''如果
:<math>\nabla_{\dot{\gamma}(t)}\dot{\gamma}(t) = 0</math>
对属于 γ的定义域中所有时间 ''t''（这里点表示关于 ''t'' 求导，得到了 γ(t) 处切向量 
<math>\dot{\gamma}(t)</math>）。每条测地线由初始 ''t''=0 切向量<math>\dot{\gamma}(0)</math> 惟一确定。

联络的挠率的一个运用涉及到联络的[[测地线|测地波浪]]（{{lang|en|geodesic spray}}）：粗略地讲为所有仿射参数化测地线。

用测地波浪将联络分类时，不同挠率不能区分开来：
* 两个联络 ∇ 与 ∇&prime; 具有相同的仿射参数化测地线（即相同的测地波浪），只在挠率有区别。<ref>See Spivak (1999) Volume II, Addendum 1 to Chapter 6.  See also Bishop and Goldberg (1980), section 5.10.</ref>
更准确地，如果 ''X'' 与 ''Y'' 是 ''p'' ∈ ''M''的一对切向量，那么令
:<math>\Delta(X,Y)=\nabla_X\tilde{Y}-\nabla'_X\tilde{Y}</math>
是两个联络的差，用 ''X'' 与 ''Y'' 从 ''p'' 处的任意扩张计算。由莱布尼兹乘积法则，我们看出 Δ 事实上与 ''X'' 和 ''Y'' 如何扩张无关（所以定义了 ''M'' 上一个张量）。设 ''S''与 ''A'' 分别为 Δ 的对称与交替部分：
:<math>S(X,Y)=\tfrac12\left(\Delta(X,Y)+\Delta(Y,X)\right)</math>
:<math>A(X,Y)=\tfrac12\left(\Delta(X,Y)-\Delta(Y,X)\right)</math>
则
* <math>A(X,Y) = \tfrac12\left(T(X,Y) - T'(X,Y)\right)</math> 是挠率张量之差。
* ∇ 与 ∇&prime; 定义了相同的仿射参数化测地线族[[当且仅当]] ''S''(''X'',''Y'') = 0。
换句话说，两个联络之差的对称部分决定了它们是否具有相同的参数化测地线，然而差的斜对称部分由这两个联络的相对挠率决定。另一个推论是
*给定任何仿射联络 ∇，存在惟一一个无挠联络 ∇&prime; 具有共同的仿射参数化测地线。
这是[[黎曼几何基本定理]]到（也许无度量）仿射联络的一个推广。选出从属于一族参数化测地线惟一的联络也称为'''挠率的吸收'''，这是[[嘉当等价方法]]的一个使用之处。

==另见==
*[[曲率张量]]
*[[Contortion tensor]]
*[[列维-奇维塔联络]]
*[[曲线的挠率]]

==注释==
{{reflist}}

==参考文献==
* {{citation|last1=Bishop|first1=R.L.|last2=Goldberg|first2=S.I.|title=Tensor analysis on manifolds|publisher=Dover|year=1980}}
*{{cite journal | first = Elie | last = Cartan | url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1923_3_40__325_0|title=Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)| journal = Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure| volume = 40 | year = 1923 | pages = 325–412}}
*{{cite journal | first = Elie | last = Cartan | title =  Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite)|url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1924_3_41__1_0 | journal = Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure| volume = 41 | year = 1924 | pages = 1-25}}
* {{citation|last1=Elzanowski|first1=M|last2=Epstein|first2=M|title=Geometric characterization of hyperelastic uniformity|journal=Archive for Rational Mechanics and Analysis|year=1985|volume=88|number=4|doi=10.1007/BF00250871|pages=pp 347—357}}
* {{citation|last1=Goriely |first1=A. |last2=Robertson-Tessi |first2=M. |last3=Tabor |first3=M. |last4=Vandiver |first4=R. |year=2006 |url=http://math.arizona.edu/~goriely/Papers/2006-biomat.pdf |title=Elastic growth models |work=BIOMAT-2006 |publisher=Springer-Verlag |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20061229011619/http://math.arizona.edu/~goriely/Papers/2006-biomat.pdf |archivedate=2006-12-29 }}
* {{citation| last1=Kobayashi|first1=Shoshichi|last2=Nomizu|first2=Katsumi | title = Foundations of Differential Geometry| volume=1 & 2 | publisher=Wiley-Interscience | publication-date=1996|edition=New edition|year=1963|id = ISBN 0471157333}}
*{{citation|last=Spivak|first=Michael|authorlink=Michael Spivak|title=A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II | location=Houston, Texas | publisher=Publish or Perish | year=1999 |id=ISBN 0914098713}}

{{曲率}}

[[Category:微分几何|N]]
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[[Category:曲率|N]]
[[Category:联络|N]]