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在[[交換代數]]中，一個[[環]] <math>R</math> 上的'''投射模'''是[[自由模]]的推廣，它有多種等價的定義；就幾何的觀點，投射模之於自由模一如[[向量叢]]之於平凡向量叢。在[[範疇論]]的語言中，投射模可以推廣為一個[[阿貝爾範疇]]中的[[投射對象]]。

投射模首見於[[昂利·嘉當]]與[[塞繆爾·艾倫伯格]]的重要著作 ''Homological Algebra''，由此定義的[[投射分解]]是同調代數的基本概念之一。

==定義==
此節給出投射模的兩種等價定義。
===自由模的直和項===
投射模最直接的刻劃是一個自由模的直和項；換言之，一個模 <math>P</math> 是投射模，若且唯若存在另一個模 <math>Q</math> 使得 <math>F := P \oplus Q</math> 是[[自由模]]。此時 <math>P</math> 是 <math>F</math> 的一個投影態射的項。

===提昇性質===
較容易操作也較符合[[範疇論]]思想的定義是利用'''提昇性質'''。模 <math>P</math> 是投射模，若且唯若對任何模[[滿射]] <math>f: N \twoheadrightarrow M</math> 及模態射 <math>g: P \rightarrow M</math>，存在模態射 <math>h: P \rightarrow N</math> 使得 <math>f \circ h = g</math>（請留意：在此''不要求唯一性''）。用[[交換圖]]表現則更明瞭：

:[[File:Projective_module.png]]

此定義的優勢在於它可以推廣到[[阿貝爾範疇]]，從而引至[[投射對象]]的概念，在此並不需要考慮自由對象。反轉箭頭則得到對偶概念[[內射模]]。

另一種在探討[[Ext函子]]時特別有用的表述如下：模 <math>P</math> 是投射模，若且唯若任何[[正合序列]]
: <math> 0 \longrightarrow M' \longrightarrow M \longrightarrow M'' \longrightarrow 0 </math>
都誘導出正合序列
: <math>0 \longrightarrow \mathrm{Hom}(P, M') \longrightarrow \mathrm{Hom}(P, M) \longrightarrow \mathrm{Hom}(P, M'') \longrightarrow 0</math>

換言之，<math>\mathrm{Hom}(P,-)</math> 是[[正合函子]]；實則對任何模 <math>M</math>，函子 <math>\mathrm{Hom}(M,-)</math> 總是左正合的，而投射性相當於右正合性。由此立刻得到投射模的同調刻劃：<math>P</math> 是投射模若且唯若

: <math> \forall i > 0, \; \mathrm{Ext}^i(P, -) = 0 </math>

==向量叢與局部自由模==
投射模理論的想法之一是[[向量叢]]的類比，對於緊[[豪斯多夫空間]]上的實值[[連續函數]]環，或緊[[光滑流形]]上的[[光滑函數]]，此類比有嚴格的表述，詳閱條目[[Swan 定理]]。

向量叢是局部自由的；只要環上有合適的''局部化''概念，例如對環的一個積性子集[[局部化]]，則可以定義'''局部自由模'''。對於[[諾特環]]上的有限生成模，其投射性等價於局部自由性。對於非諾特環，則存有局部自由但非投射模的例子。

==性質==
* 投射模的直和與直和項仍是投射模。
* 若 <math>e = e^2 \in R</math>，則 <math>Re</math> 是個投射左 <math>R</math>-模。
* 投射模的子模不一定是投射模。使得所有投射左模的子模都是投射左模的環稱作[[繼承環|左繼承]]的。
* 一個環上的全體有限生成投射模構成一個[[正合範疇]]（亦見[[代數K-理論]]）。
* [[域]]或[[除環]]上的向量空間是[[自由模]]，因而是投射模。使所有模為投射模的環稱為[[半單環]]。
* 將[[阿貝爾群]]視為 <math>\mathbb{Z}</math>-模；則投射模對應於[[自由阿貝爾群]]。一般而言，此性質對主理想域也成立。
* 投射模皆為[[平坦模]]，反之不然，例如 <math>\mathbb{Q}</math> 是平坦 <math>\mathbb{Z}</math>-模，但是非投射。
* 關於「局部自由＝投射」的想法，Kaplansky 證出如下定理：局部環上的投射模皆為自由模。有限生成投射模的情形容易證明，一般情形則較困難。

==塞爾問題==
[[Quillen-Suslin定理]]是另一個深入的結果：它斷言若 <math>R</math> 是[[域]]或[[主理想域]]，而 <math>R[X_1, \ldots, X_n]</math> 是其上的[[多項式環]]，則任何投射 <math>R</math>-模都是自由模。

此問題在域的情形由[[塞爾]]首先提出。Bass 解決了非有限生成模的情形，Quillen 與 Suslin 則同時而獨立地處理有限生成模的情形。

==文獻==
* Serge Lang, ''Algebra'' (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X


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[[Category:模論|T]]