查看“抛物面”的源代码

[[File:HyperbolicParaboloid.png|thumb|right|双曲抛物面]]
[[File:Paraboloid of Revolution.svg|thumb|right|旋转抛物面]]
'''抛物面'''是[[二次曲面]]的一种。抛物面有两种：'''椭圆抛物面'''和'''双曲抛物面'''。椭圆抛物面在[[笛卡儿坐标系]]中的方程为：

:<math>
z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}.  
</math> 

双曲抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为：

:<math>
z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}.
</math> 

==性质==
当''a = b''时，曲面称为'''旋转抛物面'''，它可以由[[抛物线]]绕着它的轴旋转而成。它是[[抛物面反射器]]的形状，把光源放在焦点上，经镜面反射后，会形成一束平行的光线。反过来也成立，一束平行的光线照向镜面后，会聚集在焦点上。

==曲率==

椭圆抛物面的[[参数方程]]为：
:<math> \vec \sigma(u,v) = \left(u, v, {u^2 \over a^2} + {v^2 \over b^2}\right) </math>
[[高斯曲率]]为：
:<math> K(u,v) = {4 \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^2} </math>
[[平均曲率]]为：
:<math> H(u,v) = {a^2 + b^2 + {4 u^2 \over a^2} + {4 v^2 \over b^2} \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^{\frac{3}{2}}} </math>
它们都是正数，在顶点处最大，越远离顶点曲率越小，并趋近于零。

双曲抛物面的参数方程为：
:<math> \vec \sigma (u,v) = \left(u, v, {u^2 \over a^2} - {v^2 \over b^2}\right) </math>
高斯曲率为：
:<math> K(u,v) = {-4 \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^2} </math>
[[平均曲率]]为：
:<math> H(u,v) = {-a^2 + b^2 - {4 u^2 \over a^2} + {4 v^2 \over b^2} \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^{\frac{3}{2}}}. </math>

==乘法表==
如果把双曲抛物面
:<math> z = {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} </math>
顺着+''z''的方向旋转&pi;/4的角度，则方程为：
:<math> z = {1\over 2} \left(x^2 + y^2\right) \left({1\over a^2} - {1\over b^2}\right) + x y \left({1\over a^2}+{1\over b^2}\right) </math>
如果<math>\ a=b</math>，则简化为：
:<math> z = {2\over a^2} x y </math>.
最后，设<math> a=\sqrt{2} </math>，我们可以看到双曲抛物面
:<math> z = {x^2 - y^2 \over 2} </math>.
与以下的曲面是全等的：
:<math>\ z = x y </math>
因此它可以视为[[乘法表]]的几何表示。

两个<math>\mathbb{R}^2 \rarr \mathbb{R}</math>函数
:<math> z_1 (x,y) = {x^2 - y^2 \over 2} </math>
和
:<math>\ z_2 (x,y) = x y </math>
是[[调和共轭]]，它们在一起形成[[解析函数]]
:<math> f(z) = {1\over 2} z^2 = f(x + i y) = z_1 (x,y) + i z_2 (x,y) </math>
它是<math>\mathbb{R}\rarr \mathbb{R}</math>函数<math>\ f(x) = {1\over 2} x^2 </math>的[[解析延拓]]。

==参见==
* [[椭球]]
* [[双曲面]]
* [[类球面]]
* [[二次曲面]]
* [[抛物面反射器]]

==参考文献==
*Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 133, 1987. 
*Gray, A. "The Paraboloid." §13.5 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 307-308, 1997. 
*Harris, J. W. and Stocker, H. "Paraboloid of Revolution." §4.10.2 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 112, 1998. 
*Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 10-11, 1999. 
*Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999. 

{{幾何術語}}

[[Category:曲面]]
[[Category:二次曲面]]