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{{NoteTA
|G1=Math
|1=zh-hans:皮埃尔;zh-hk:皮耶爾;zh-tw:皮耶;
}}
{{微积分学}}
在[[數學]]以及[[物理]]中，'''拉普拉斯算子'''或是'''拉普拉斯算符'''（{{lang-en|'''Laplace operator, Laplacian'''}}）是由[[欧几里得空间]]中的一個函数的[[梯度]]的[[散度]]给出的[[微分算子]]，通常寫成 <math> \Delta </math>、<math> \nabla^2 </math> 或 <math> \nabla \cdot \nabla </math>。

這名字是為了紀念[[法国]]数学家[[皮耶-西蒙·拉普拉斯]]（1749–1827）而命名的。他在研究[[天体力学]]在數學中首次应用[[算子]]，当它被施加到一个给定的[[重力位]]（Gravitational potential）的时候，其中所述算子给出的质量密度的常数倍。經拉普拉斯算子運算為零∆f=0的[[函數]]稱為[[调和函数]]，现在称为[[拉普拉斯方程]]，和代表了在自由空间中的可能的重力场。

拉普拉斯算子有許多用途，此外也是[[椭圆算子]]中的一個重要例子。

拉普拉斯算子出现描述许多物理现象的微分方程里。例如，常用於[[波方程]]的[[數學模型]]、[[熱傳導方程]]、[[流体力学]]以及[[亥姆霍茲方程]]。在[[靜電學]]中，[[拉普拉斯方程]]和[[泊松方程]]的應用隨處可見。在[[量子力學]]中，其代表[[薛丁格方程式]]中的[[動能]]項。

拉普拉斯算子是最简单的[[椭圆算子]]，并且拉普拉斯算子是[[霍奇理論]]的核心，並且是[[德拉姆上同調]]的結果。在[[图像处理]]和[[计算机视觉]]中，拉普拉斯算子已经被用于诸如{{le|斑点检测|Blob detection}}和[[边缘检测]]等的各种任务。

==定义==
拉普拉斯算子是 '''n''' 维[[欧几里得空间]]中的一个二阶微分算子，其定义为對函數 <math> f </math> 先作[[梯度]]運算（<math>\nabla f</math>）後，再作[[散度]]運算（<math>\nabla \cdot \nabla f</math>）的結果。因此如果 <math> f </math> 是[[导数|二阶可微]]的[[实函数]]，则 <math> f </math> 的拉普拉斯算子定义为：

:<math>\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f </math>  ── (1)

<math> f </math> 的拉普拉斯算子也是[[笛卡儿坐标系]] <math>x_i</math> 中的所有非混合二阶[[偏导数]]：

:<math>\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_i}</math>  ── (2)

作为一个二阶微分算子，对于''k'' ≥ 2，拉普拉斯算子把''C''<sup>k</sup>函数映射到''C''<sup>k-2</sup>函数。表达式（(1)或(2)）定义了一个算子Δ：''C''<sup>k</sup>('''R'''<sup>n</sup>)→ ''C''<sup>k-2</sup>('''R'''<sup>n</sup>)，或更一般地，定义了一个算子Δ：''C''<sup>k</sup>(Ω)→ ''C''<sup>k-2</sup>(Ω)，对于任何[[开集]]Ω。

函数的拉普拉斯算子也是该函数的[[海森矩阵]]的[[迹]]：

:<math>\Delta f = \mathrm{tr}(H(f)).\,\!</math>

==坐標表示式==
===二維空間===
::<math>\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math>

:其中'''x'''與'''y'''代表x-y平面上的[[笛卡兒坐標系|笛卡兒坐標]]
:另外[[極坐標系|極坐標]]的表示法為：
::<math> \Delta f 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}</math>

===三維空間===
:'''[[笛卡兒坐標系]]'''下的表示法
::<math>
\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.
</math>

:'''[[圓柱坐標系]]'''下的表示法
::<math> \Delta f 
= {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
  \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }. 
</math>

:'''[[球坐標系]]'''下的表示法
::<math> \Delta f 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}.
</math>

===''N''维空间===
在参数方程为<math>x=r\theta \in {\mathbb R}^N</math>（其中<math>r \in [0,+\infty)</math>以及<math> \theta \in S^{N-1}</math>）的'''<math>N</math>维球坐标系'''中，拉普拉斯算子为：

:<math> \Delta f
= \frac{\partial^2 f}{\partial r^2}
+ \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}
+ \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{N-1}} f
</math>

其中<math>\Delta_{S^{N-1}}</math>是<math>N-1</math>维球面上的[[拉普拉斯-贝尔特拉米算子]]。我们也可以把<math>{\partial^2 f \over \partial r^2}
+ \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}</math>的项写成<math>\frac{1}{r^{N-1}} \frac{\partial}{\partial r} \Bigl(r^{N-1} \frac{\partial f}{\partial r} \Bigr)</math>。

==恒等式==
* 如果''f''和''g''是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：

:<math>\Delta(fg)=(\Delta f)g+2((\nabla f)\cdot(\nabla g))+f(\Delta g)</math>。

''f''是径向函数<math>f(r)</math>且''g''是[[球谐函数]]<math>Y_{lm}(\theta,\phi)</math>，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。<math>f(r)</math>的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此：

:<math>2(\nabla f(r))\cdot(\nabla Y_{lm}(\theta,\phi))=0</math>。

球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：

:<math>\Delta Y_{\ell m}(\theta,\phi) = -\frac{\ell(\ell+1)}{r^2} Y_{\ell m}(\theta,\phi)</math>。

因此：

:<math>\Delta( f(r)Y_{\ell m}(\theta,\phi)) = \left(\frac{d^2f(r)}{dr^2} + \frac{2}{r} \frac{df(r)}{dr} - \frac{\ell(\ell+1)}{r^2} f(r)\right)Y_{\ell m}(\theta,\phi)</math>。

==推广==
===复杂空间上的实值函数===
拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是[[椭圆型算子]]，[[双曲型算子]]，或[[超双曲型算子]]。

在[[闵可夫斯基空间]]中，拉普拉斯算子变为[[达朗贝尔算子]]：
:<math>\square =
{\partial^2 \over \partial x^2 } +
{\partial^2 \over \partial y^2 } +
{\partial^2 \over \partial z^2 } -
\frac {1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2 }.
</math>

达朗贝尔算子通常用来表达[[克莱因-戈尔登方程]]以及四维[[波动方程]]。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子''c''是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果''x''方向用寸来衡量，''y''方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。
===值域爲复杂空间===
====向量值函數的拉普拉斯算子====
{{See|en:Vector Laplacian}}
拉普拉斯算子作用在向量值函數上，其結果被定義爲一個向量，這個向量的各個分量分別爲向量值函數各個分量的拉普拉斯，卽
:<math>\nabla^2 \mathbf{A} =(\nabla^2 A_x, \nabla^2 A_y, \nabla^2 A_z)</math>．
更一般地，對沒有坐標的向量，我們用下面的方式定義（受[[向量恒等式]]的啓發）：
:<math> \nabla^2 \mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times(\nabla \times \mathbf{A}) </math>，也可用類似于[[拉普拉斯－德拉姆算子]]的方式定義，然後證明“[[旋度]]的旋度”向量恒等式．

====拉普拉斯－贝尔特拉米算子====
{{main|拉普拉斯－贝尔特拉米算子{{!}}拉普拉斯－贝尔特拉米算子和拉普拉斯－德拉姆算子}}

拉普拉斯算子也可以推广为定义在[[黎曼流形]]上的椭圆型算子，称为'''[[拉普拉斯-贝尔特拉米算子]]'''。达朗贝尔算子则推广为[[伪黎曼流形]]上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于[[张量场]]上的算子（也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子）。

另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过'''[[拉普拉斯–贝尔特拉米算子|拉普拉斯–德拉姆算子]]'''，它作用在[[微分形式]]上。这便可以通过[[外森比克恒等式]]来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。

==参见==
*[[在圆柱和球坐标系中的del]]

==参考文献==

* {{cite book|author=Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M|title=[[The Feynman Lectures on Physics]]|volume=Volume 2|chapter=Chapter 12: Electrostatic Analogs|publisher=Addison-Wesley-Longman|year=1970}}
* {{cite book|author=Gilbarg, D and Trudinger, N|title=Elliptic partial differential equations of second order|year=2001|publisher=Springer|isbn=978-3540411604}}
* {{cite book|author=Schey, H. M.|title=Div, grad, curl, and all that|publisher=W W Norton & Company|year=1996|isbn=978-0393969979}}

==外部連結==
* [http://mathworld.wolfram.com/Laplacian.html MathWorld: Laplacian]
* [http://planetmath.org/?method=l2h&from=collab&id=76&op=getobj Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates] by Swapnil Sunil Jain

{{Authority control}}
[[Category:皮埃尔-西蒙·拉普拉斯]]
[[Category:場論]]
[[Category:多变量微积分]]
[[Category:微分算子]]
[[Category:调和函数]]